Mateclubes 2020 - Nivel 5 - Ronda Final - Problema 3 -

[Pastel DE papa¿¿¿¿]

Hola, esta tarde participé de los mateclubes, este fue el problema que no nos salió, si alguien lo pudiera resolver me sería de mucha ayuda.

3

Diego escribe en el pizarrón todas las maneras de escribir al 20202020 como producto de algunos enteros mayores que 1. Por ejemplo, algunas de las formas que escribe son

20202020, 10101010×2, 2×10101010, 2×5×2020202

¿Cuántas formas escribió Diego en el pizarrón? ¿Cómo las contaron?

¿Cuántos números enteros escribió en total? ¿Cómo los contaron?

[Sergiohuang2004]

Hola!
Creo que nuestro grupo lo hizimos mal este,cuantos les dio en el 1 y 2?

[NPCPepe]

Spoiler: mostrar

La factorización en primos de $20202020$ es: $2^2*5*73*101*137$.
Para separar a $20202020$ en $1$ número hay $1$ sola forma

Para separarlo en $2$, se deben formar dos números que van a tener los mismos factores primos que $20202020$, entonces los factores primos de exponente $1$ solo tienen $2$ opciones que son $(1,0)$ es decir, va uno en el primer número y ninguno en el segundo y $(0,1)$ que sería lo contrario.
Para los números primos con exponente $2$ se puede elegir: $(1,1)$ $(2,0)$ y $(0,2)$, entonces hay $3*2^4$=$48$ formas, pero de esas hay dos que incluyen al $1$ $(1,20202020)$, $(20202020,1)$ por lo que hay $46$ formas.

Para separarlo en $3$, primero hay que saber la cantidad de particiones ordenadas del $2$ en $3$ partes y del $1$ en $3$ partes, las del $1$ son $3$, las del $2$ son $\frac{(2+3-1)!}{(2!*(3-1)!}=6$ según este lema viewtopic.php?t=49, pero también como el $2$ es chico se puede separar en casos. También hay que saber la cantidad de grupos de $3$ que contengan $1$ porque éstos no se incluyen, los grupos que tengan un $1$ son $3$, los que tengan dos $1$ son $\frac{3!}{2!*1!}=3$ multiplicado por el resultado anterior que es $46$, ya que lo que quedan son grupos de $2$ que forman $20202020$, entonces hay $6*3^4-3*46-3=345$

Para el $4$ se puede seguir de la misma forma:
$10*4^4-345*4-46*6-4=900$

Para el $5$:
$15*5^4-900*5-345*10-46*10-5=960$
En el caso $6$ se puede ver que cada número es uno de los $6$ factores y solo se repite el $2$ así que es $\frac{6!}{2!}=360$
$1+46+345+900+960+360=2612$
La respuesta al problema es $2612$