XVII OLIMPIADA DE GEOMETRÍA EN HONOR A I.F. SHARYGIN - Ronda por correspondencia - P16

[Nando]

Sean $\Omega$ y $\omega$ circunferencias tangentes interiormente en el punto $A$, una cuerda $BC$ de $\Omega$ es tangente a $\omega$ en el punto $K$. Sea $O$ el centro de $\omega$, probar que el circuncírculo de $BOC$ pasa por el punto medio del segmento $AK$.

[Gianni De Rico]

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Invertimos por $\omega$. Entonces la recta $BC$ va a la circunferencia de diámetro $OK$, pero como $O$ es el centro de $\omega$, tenemos que si $M$ es el punto medio de $AK$, entonces $OM\perp MK$, de modo que $M$ está en la circunferencia de diámetro $OK$, con lo que $M'$ está en la recta $BC$. Entonces $M'K$ es tangente a $\omega$, pero como $OM$ es mediatriz de $AK$, entonces $M'A=M'K$, con lo que $M'A$ es tangente a $\omega$. Tenemos también que $\Omega$ se invierte en una circunferencia $\Omega '$ que es tangente a $\omega$ en $A$, entonces $B'C'$ es el eje radical de $\Omega '$ y $(KOM)$, con lo que $M',B',C'$ están alineados. Se sigue que $M$ está en el circuncírculo de $BOC$, como queríamos.