Números que se pueden escribir como suma de dos cuadrados

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Matías V5

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Números que se pueden escribir como suma de dos cuadrados

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Sea $n$ un entero positivo, entonces la ecuación $x^2+y^2=n$ tiene soluciones enteras si y sólo si en la factorización en primos de $n$, todos los primos de la forma $4k+3$ aparecen con exponente par.

Ejemplos:
  • $123$ no se puede escribir como suma de dos cuadrados, pues $123=3\cdot 41$, así que tenemos un primo $4k+3$ que aparece con exponente impar.
    $1234$ sí se puede escribir como suma de dos cuadrados, pues $1234=2\cdot 617$ (no hay primos $4k+3$). De hecho, es $1234=3^2+35^2$.
  • $19845$ sí se puede escribir como suma de dos cuadrados, pues $19845=3^4\cdot 5\cdot 7^2$, es decir, los primos $4k+3$ aparecen con exponente par (notar que $5$ tiene exponente impar, pero eso no importa pues no es de la forma $4k+3$). Concretamente, $19845=63^2+126^2$.
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Matías V5

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Re: Números que se pueden escribir como suma de dos cuadrado

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Veamos primero que la condición del teorema es necesaria, es decir, si [math] tiene algún divisor primo de la forma [math] que aparece con exponente impar en su factorización, entonces [math] NO se puede escribir como suma de dos cuadrados.
Vamos a usar este lema sobre primos [math].
Sea [math] un primo [math] que aparece con exponente [math] en la factorización de [math], y supongamos que [math]. Por el lema resulta que [math] e [math] son múltiplos de [math], entonces podemos dividir todo por [math] y obtener [math]. Repitiendo este argumento [math] veces, obtenemos que [math] se puede escribir como suma de dos cuadrados. Sin embargo esto no puede ocurrir: como [math] es múltiplo de [math], si se pudiera escribir como [math] los números [math] y [math] deberían ser múltiplos de [math], pero entonces [math] sería múltiplo de [math], contradicción.
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Re: Números que se pueden escribir como suma de dos cuadrado

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Para terminar la demostración vamos a demostrar otros dos lemas.

El primero dice que si dos números [math] se pueden escribir como suma de dos cuadrados, entonces su producto [math] también se puede escribir de esta forma. Para probarlo sólo basta verificar la identidad [math].

Ahora veamos que todo primo [math] de la forma [math] se puede escribir como suma de dos cuadrados. Esta es probablemente la parte más importante de la demostración.
Afirmamos que existe un entero [math] tal que [math]. De hecho podemos tomar [math]: por el teorema de Wilson sabemos que [math], pero por otra parte [math], que módulo [math] es lo mismo que [math], de donde se deduce nuestra afirmación.
Ahora, consideremos el conjunto de todos los números de la forma [math], con [math]. Hay [math] de estos números, por lo tanto debe haber dos que son congruentes módulo [math]. Supongamos entonces que [math], luego [math], elevando al cuadrado queda [math], es decir que [math] divide a [math]. Pero por el rango en el que elegimos estos enteros, [math] y por lo tanto [math], de modo que la suma de los dos cuadrados es exactamente [math], cumpliendo así nuestro objetivo.

Con esto ya tenemos el teorema. Sea [math] un número tal que en su factorización en primos todos los primos de la forma [math] aparecen con exponente par, y sea [math] el mayor cuadrado perfecto que divide a [math]. Entonces [math], donde [math] es producto de varios primos distintos, todos ellos iguales a [math] o de la forma [math]. El número [math] se puede escribir trivialmente como suma de dos cuadrados, y cada uno de los primos que aparecen en [math] también (si son de la forma [math], es lo que acabamos de demostrar, si es [math], es [math]). Usando el primer lema que demostramos en este post, concluimos que [math] se puede escribir como suma de dos cuadrados.

QED
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TheChosen
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Re: Números que se pueden escribir como suma de dos cuadrado

Mensaje sin leer por TheChosen »

¿Este teorema se puede usar en una demostración para resolver un problema o habría que demostrarlo primero?
usuario250

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Re: Números que se pueden escribir como suma de dos cuadrado

Mensaje sin leer por usuario250 »

TheChosen escribió:¿Este teorema se puede usar en una demostración para resolver un problema o habría que demostrarlo primero?
Se decidirá el proximo Martes en una asamblea extraordinaria a efectuarse a las 18 horas en la casa de Patricia Fauring.
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TheChosen
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Re: Números que se pueden escribir como suma de dos cuadrado

Mensaje sin leer por TheChosen »

usuario250 escribió: Se decidirá el proximo Martes en una asamblea extraordinaria a efectuarse a las 18 horas en la casa de Patricia Fauring.
Qué raro, pensé que ya lo habían definido la vez pasada en la casa de Flora, se ve que deben estar retrasados con los temas a tratar. :lol:

Dejando eso de lado lo preguntaba porque leí en otros posts que los teoremas mas elementales que usemos no es necesario probarlos como por ejemplo Pitágoras, pero algunos conviene demostrarlos en la misma resolución.
usuario250

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Re: Números que se pueden escribir como suma de dos cuadrado

Mensaje sin leer por usuario250 »

Mas allá de eso, siempre es bueno entender la demostración. En este caso, ves como se prueba condición necesaria y suficiente de un problema de este estilo.
Última edición por usuario250 el Dom 02 Nov, 2014 2:47 pm, editado 1 vez en total.
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Matías V5

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Re: Números que se pueden escribir como suma de dos cuadrado

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Yo digo que este se puede usar sin demostrar.
(Pero si lo enunciás correctamente, cosa que vean que vos sabés de lo que estás hablando. O sea, si decís
"y por un teorema este número se puede escribir como suma de dos cuadrados"
no te va a creer nadie; en cambio si decís
"es un teorema conocido que un número se puede escribir como suma de dos cuadrados si y sólo si todos los primos [math] tienen exponente par en su factorización; como este número cumple eso, entonces se puede escribir como suma de dos cuadrados"
debería ser perfectamente válido.)
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