Entrenamiento IMO 2021 - Problema 26

[Tomás Morcos Porras]

Sean $x,y,z$ números reales no nulos tales que $xy,yz,zx$ son racionales.
a) Demostrar que $x^2+y^2+z^2$ es racional.
b) Si $x^3+y^3+z^3$ también es racional, demostrar que $x,y,z$ son racionales.

[Kechi]

a)

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Como $x$, $y$, $z$ son no nulos, luego $xy$, $yz$ y $zx$ son racionales no nulos. Entonces $\dfrac{(xy)(zx)}{yz}=x^2$ es racional. Análogamente los números $y^2$ y $z^2$ son racionales y, en consecuencia, $x^2+y^2+z^2$ también lo es. $\bigstar$

b)

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Notemos que
$$(xy)(x^2)+(yz)(z^2)+(y^2)^2=y(x^3+y^3+z^3)$$
Es racional. Como $x^3+y^3+z^3$ es racional, luego $y$ también debe serlo. Análogamente $x$ y $z$ son racionales. $\bigstar$