Iberoamericana 2021 - Problema 1
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Sea $P=\{p_1,p_2,\ldots ,p_{10}\}$ un conjunto de $10$ primos distintos y sea $A$ el conjunto de todos los enteros mayores que $1$ tales que en su descomposición en factores primos aparecen únicamente primos de $P$. Los elementos de $A$ se colorean de tal forma que:
a) cada elemento de $P$ tiene un color distinto,
b) si $m,n\in A$, entonces $mn$ tiene el mismo color de $m$ o $n$,
c) para cualquier par de colores distintos $\mathcal{R}$ y $\mathcal{S}$, no existen $j,k,m,n\in A$ (no necesariamente distintos), con $j,k$ de color $\mathcal R$ y $m,n$ de color $\mathcal S$, tales que $j$ divide a $m$ y $n$ divide a $k$, simultáneamente.
Demuestre que existe un primo de $P$ tal que todos sus múltiplos en $A$ tienen el mismo color.
a) cada elemento de $P$ tiene un color distinto,
b) si $m,n\in A$, entonces $mn$ tiene el mismo color de $m$ o $n$,
c) para cualquier par de colores distintos $\mathcal{R}$ y $\mathcal{S}$, no existen $j,k,m,n\in A$ (no necesariamente distintos), con $j,k$ de color $\mathcal R$ y $m,n$ de color $\mathcal S$, tales que $j$ divide a $m$ y $n$ divide a $k$, simultáneamente.
Demuestre que existe un primo de $P$ tal que todos sus múltiplos en $A$ tienen el mismo color.
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