Torneo de las ciudades Octubre 2021 Nivel Mayor P4

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Juaco

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Torneo de las ciudades Octubre 2021 Nivel Mayor P4

Mensaje sin leer por Juaco »

¿Cuál es el menor $k$ posible tal que para cada tres números reales distintos de cero hay dos números $a$ y $b$ tales que $|a-b|\leq k$ ó $\left |\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right |\leq k$?

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Santi's AI

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Re: Torneo de las ciudades Octubre 2021 Nivel Mayor P4

Mensaje sin leer por Santi's AI »

Primero quiero decir que estuve escribiendo como una hora y sin querer borré todo y lo perdí por un accidente súper tonto. No puedo quedarme yo solo con esto que acaba de pasar, porque la solución de verdad me gustó y la quiero publicar, así que les comparto mi desgracia y procedo a escribir todo de vuelta.

Un par de aclaraciones antes de empezar:
Spoiler: mostrar
$1)$ Por comodidad, sean
$X=|a-b|$ e
$Y=|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}|$

$2)$ Voy a dividir el enunciado en dos grandes partes "números reales positivos distintos de cero" en lugar de solo "números reales distintos de cero".
Edit: acabo de darme cuenta de que eso que hice al principio de acotar el "dominio" del enunciado a sólo "reales positivos" en realidad también cambia el enunciado, no es indiferente. Así que bueno solo voy a dejar esto acá porque no da que lo borre después de tanto trabajo jwjw.

Ahora sí, la solución:
Spoiler: mostrar
Primero que nada veamos la siguiente propiedad:
Se tiene un real positivo $n<1$. Luego $\frac{1}{n}>1$
Por otro lado, si $n>1$ entonces $\frac{1}{n}<1$

Ahora comencemos imaginando que ninguno de los números de la terna inicial es igual a $1$. Entonces podremos afirmar una de dos situaciones:
$1)$ Al menos dos de ellos son mayores que $1$
$2)$ Al menos dos de ellos son menores que $1$

Veamos el primer caso:
Supongamos que tomo a $a$ y $b$ como esos dos números mayores que $1$. Entonces, por la propiedad del principio, resulta que $Y<1$

Segundo caso:
Nuevamente tomamos a $a$ y $b$ como esos dos números que son menores que $1$. Entonces por la misma razón tendremos que $X<1$

Por lo que vemos que siempre que en la terna inicial de números tengamos tres números, todos distintos de $1$, entonces siempre vamos a tener o $X<1$ o $Y<1$. Nos queda ver si eso pasa también cuando uno de los números es igual a $1$ en la terna inicial.
Formemos una terna con uno de los números igual a $1$. Para no repetir casos anteriores los otros dos números serán UNO mayor que $1$ y EL OTRO menor que $1$.

Detalle: descartamos el caso en el que tenemos al menos dos números iguales a $1$ ya que en ese caso siempre podemos elegir $a=1$ y $b=1$ que nos da $X=Y=0$, lo que no nos sirve para maximizar el mínimo valor posible de $K$.

Veamos qué sucede ahora (a este caso lo llamaremos "caso $3)$":
Notemos que siempre en este caso podremos elegir $a=1$ y $b=ese\space número\space menor\space que\space 1$.
En este caso vemos que $X<1$, igual que antes.

Entonces ya vimos que, sin importar la terna inicial de números, siempre hay una forma de elegir dos de ellos tales que o $X$ o $Y$ sea menor que $1$. Entonces el máximo valor que $K$ puede tomar, cuando se eligen los números $a$ y $b$ convenientemente para que $K$ sea mínimo, será $1$.

Pero, ¿Puede ser un valor incluso menor? La respuesta es que no, por la siguiente razón.

Analicemos caso por caso:

$1)$ Supongamos que $a$ es un número muy muy muy cercano a $1$ (ejemplo: $a=1,000001$). Y supongamos que $b$ es un número muy muy muy grande (ejemplo: $b=1000000$). Claramente vemos que $Y$ sigue siendo menor que $1$, pero a la vez es un número muy muy muy cercano a él. Y además vemos que mientras más acerquemos $a$ hasta $1$, y más agrandemos $b$, obtendremos un $Y$ todavía más cercano a $1$. Entonces queda demostrado para el caso $1)$.

$2)$ Para este caso utilizamos una lógica análoga al caso anterior: Supongamos que $a$ es un número muy muy muy cercano a $1$ (ejemplo: $a=0,999999$). Y supongamos que $b$ es un número muy muy muy cercano a $0$ (ejemplo: $b=0,000001$). Claramente vemos que $X$ sigue siendo menor que $1$, pero a la vez es un número muy muy muy cercano a él. Y además vemos que mientras más acerquemos $a$ hasta $1$, y más achiquemos $b$, obtendremos un $X$ todavía más cercano a $1$. Entonces queda demostrado para el caso $2)$.

$3)$ Misma logica. En este caso basta con analizar cómo varía $b$ (ya que $a=1$). Supongamos que $b$ es un número muy muy muy cercano a $0$ (ejemplo: $b=0,000001$). Claramente vemos que $X$ sigue siendo menor que $1$, pero a la vez es un número muy muy muy cercano a él. Y además vemos que mientras más achiquemos $b$, obtendremos un $X$ todavía más cercano a $1$. Entonces queda demostrado para el caso $3)$.
"Me fui al pasto...
aguante el pasto."


- Ale, 2022, en un mensaje por mail
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