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Gianni De Rico

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CIMA 2015 - P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Juan va al casino con $\$100$. Juega repetidamente a un juego donde apuesta $\$1$ cada vez. Si gana, se lleva $\$2$ y si pierde, no se lleva nada. Deja de jugar cuando llega a tener $\$101$, y se va contento de que "le ganó al casino", o cuando se queda sin dinero. Determinar la probabilidad de que Juan le gane al casino si cada vez que apuesta:
  • $\text{(a)}$ tiene la misma probabilidad de ganar que de perder.
  • $\text{(b)}$ tiene probabilidad $p$ de ganar y $1-p$ de perder para algún valor $0<p<1$.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
juandodyk

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Re: CIMA 2015 - P3

Mensaje sin leer por juandodyk »

Spoiler: mostrar
Sea $k = 100$, y $V_n$ la probabilidad de ganarle al casino si empezamos con $n$ pesos. Tenemos $V_0 = 0$, $V_{k+1} = 1$, y $V_n = p V_{n+1} + (1 - p) V_{n-1}$ si $n \in \{1, \ldots, k\}$.

Reescribimos esta ecuacion como $V_n - V_{n-1} = p(V_{n+1} - V_{n-1}) = p(V_{n+1} - V_n) + p(V_n - V_{n-1})$ y obtenemos
$$V_{n+1} - V_n = \frac{1-p}{p} (V_n - V_{n-1})$$
para todo $n \in \{1, \ldots, k\}$. Esto implica $V_{n+1} - V_n = \lambda^{n} (V_1 - V_0) = \lambda^{n} V_1$, donde $\lambda = \frac{1-p}{p}$. Por lo tanto,
$$V_{n+1} = V_{n+1} - V_n + \cdots + V_2 - V_1 + V_1 = (1 + \ldots + \lambda^{n}) V_1.$$
Tomando $n = k$ obtenemos $1 = V_{k+1} = (1 + \ldots + \lambda^{k}) V_1$. Tomando $n = k-1$ obtenemos $$V_k = \frac{1 + \ldots + \lambda^{k-1}}{1 + \ldots + \lambda^{k}}.$$

Si $p = \frac12$ esto da $V_k = \frac{k-1}{k}$. Si no, da $$V_k = \frac{1 - (\frac{1-p}{p})^{k}}{1 - (\frac{1-p}{p})^{k+1}}.$$
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Gregorio

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Re: CIMA 2015 - P3

Mensaje sin leer por Gregorio »

https://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk
Usar fórmulas conocidas sin demostrarlas será aceptable o es demasiado chanta para una competencia así?
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juandodyk

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Re: CIMA 2015 - P3

Mensaje sin leer por juandodyk »

Que formula en particular tenes en mente? Supongo que salvo que sea un teorema famoso con nombre lo tenes que demostrar. Igual si te sabes la formula de memoria supongo que tambien sabes demostrarla.
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Gregorio

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Re: CIMA 2015 - P3

Mensaje sin leer por Gregorio »

juandodyk escribió: Jue 25 Ene, 2024 11:04 pm Que formula en particular tenes en mente? Supongo que salvo que sea un teorema famoso con nombre lo tenes que demostrar. Igual si te sabes la formula de memoria supongo que tambien sabes demostrarla.
En el Random Walk clásico (empezando de $0$, misma probabilidad de aumentar $1$ que de reducir $1$) la probabilidad de alcanzar $A$ antes que $B$, con $A$ y $B$ enteros tales que $B<0<A$, es $-B/(A-B)$

Yo sé que parece una joda afirmar algo así para el problema... pero es "conocido" en el sentido de que la versión continua (Movimiento Browniano sin Drift) de esto se usa para determinar la probabilidad de que tu acción llegue antes al precio $A$ que al $B$. Igual, que yo recuerde, esto no tiene un nombre conocido.
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