La Geometrense: olimpíada mexicana de geometría 2021 P2

[Juaco]

Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ circunferencias tangentes en $A$ tales que $\Gamma_2$ está en el interior de $\Gamma_1$. Sea $B$ un punto en $\Gamma_2$, y sea $C$ la segunda intersección de $\Gamma_1$ con $AB$. Sea $D$ un punto en $\Gamma_1$ y $P$ un punto en la recta $CD$. $BP$ corta a $\Gamma_2$ por segunda vez el $Q$. Muestra que $A, D, P, Q$ son concíclicos.

[Juaco]

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Por homotecia los arcos $AB$ y $AC$ son iguales entonces $A\hat{Q}B = A\hat{D}C$ y estamos.

[Gianni De Rico]

Alternativamente

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Invertimos por $A$, $\Gamma _1$ y $\Gamma _2$ se invierten en rectas paralelas y las rectas $BP$ y $CD$ se invierten en circunferencias. Entonces$$\angle B'Q'P'=\angle B'AP'=\angle C'AP'=\angle C'D'P',$$con lo que $P'Q'\parallel P'D'$ (esto es porque $\Gamma _1'\parallel \Gamma _2'$), así que $P',D',Q'$ son colineales, lo que implica que $A,D,P,Q$ son concíclicos.

Pequeño comentario, en español un círculo está relleno y una circunferencia es solamente el borde. En inglés las palabras son "disc" para círculo y "circle" para circunferencia.

[Juaco]

Pequeño comentario, en español un círculo está relleno y una circunferencia es solamente el borde. En inglés las palabras son "disc" para círculo y "circle" para circunferencia.

Estoy de acuerdo, pero lo copié tal cual la prueba porque pensé que se iba a entender bien. De todas formas mejor voy a editarlo sí para evitar confusiones

[Lean]

La misma que Gianni.

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Las dos circunferencias tangentes se tocan en A. Si realizamos una inversion de centro A y radio arbitrario de las dos circunferencias, nos resultan en dos rectas paralelas (gracias a circunferencias tangentes) que no pasan por A. Haciendo lo mismo pero con las rectas $PD$ y $PQ$, como no pasan por A, nos resultan dos circunferencias que pasan por A.

Entonces, $\widehat{PQB}$ $=$ $\widehat{BAP}$ $=$ $\widehat{CDP}$ $=$ $\widehat{CAP}$ $\Rightarrow$ $P, Q, D$ son colineales y la inversion de estos por $A$ los manda a una circunferencia que circunscribe $APQD$. $\blacksquare$

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