Fijamos un sistema de ejes cartesianos con [math]A=(0,0) y tal que [math]AB sea el eje [math]x. Tenemos entonces [math]B=(10,0). Dejamos [math]C=(a,b) y [math]D=(x,y).
Si reemplazamos (1) y (2) en (3) obtenemos que [math]20a - 2ax - 2by = 0 \Leftrightarrow a(10-x) - by = 0 (4).
Consideremos los vectores [math]\vec{CA} y [math]\vec{DB}. Tenemos que [math]\vec{CA} = (-a,-b) y [math]\vec{DB}=(10-x,-y).
Si hacemos producto escalar, nos da [math]\vec{CA}\cdot \vec{DB} = -a(10-x) +by = -(a(10-x)-by) = 0 por (4).
Pero [math]\vec{CA}\cdot \vec{DB} = ||\vec{CA}||\cdot ||\vec{DB}|| \cos{\alpha} = 0, y al ser el módulo de los vectores no-nulo, tenemos que [math]\cos(\alpha)=0 y así [math]\alpha=90^{\circ}. Y estamos.
"Though my eyes could see I still was a blind man"
Fijo ejes cartesianos. [math]A=(0,0), [math]B=(L_1,0), [math]C=(a,b), [math]D=(x,y). Si [math]L_1,L_2,L_3,L_4 son las medidas de [math]AB, [math]BC, [math]CD y [math]DA respectivamente, tengo por las condiciones de módulo que:
Si reemplazamos (1) y (2) en (3), obtenemos que [math]{L_2^2 - L_1^2 +2L_1a + L_ 4^2 - 2ax - 2by = L_3^2 \Rightarrow 2L_1a -2ax-2by = (L_1^2 + L_3^2) - (L_2^2 + L_4^2)} (4).
Notemos que [math]AC \perp BD \Leftrightarrow \vec{AC}\cdot \vec{BD} = 0. Es decir, [math](a,b)\cdot (x-L_1, y) = a(x-L_1) + by =0.
Con todo esto, lo que queremos demostrar sale en dos patadas.
Si [math]L_1^2 + L_3^2 = L_2^2 + L_4^2, entonces se sigue de (4) que [math]2L_1a-2ax-2by = 2(a(L_1-x) - by) = 0. Pero por lo del producto escalar, se sigue que [math]AC\perp BD.
Si [math]AC\perp BD, se sigue que [math]2L_1a-2ax-2by = 0, y así se ve en (4) que [math](L_1^2 + L_3^2) - (L_2^2 + L_4^2).
Entonces [math]AC \perp BD \Leftrightarrow AB^2+CD^2=BC^2+AD^2
"Though my eyes could see I still was a blind man"
Sea [math]ABCD el cuadrilátero y sea [math]O la intersección de las diagonales [math]AC y [math]BD. Sea [math]AO=a, [math]BO=b, [math]CO=c y [math]DO=d; y sea [math]\angle AOB=\alpha=\angle COD y [math]\angle BOC=\beta=\angle DOA, con [math]\alpha + \beta = 180. Por el teorema del coseno:
Como [math]100+121=25+196, entonces sumando (1) y (3) e igualando a la suma de (2) y (4). Cancelando términos iguales:
[math]abCos \alpha + cdCos \alpha = acCos \beta + adCos \beta. Supongamos que [math]\alpha < \beta. Como el coseno de 0 es 1, de 90 es 0 y de 180 es -1; entonces el coseno de un ángulo [math]x, con [math]0<x<90 es positivo, mientras que el coseno de un ángulo [math]y, con [math]90<y<180 es negativo. Si [math]\alpha < \beta, entonces [math]\alpha < 90 por lo que el miembro izquierdo de la última ecuación es positivo mientras que el derecho es negativo. Contradicción. Luego [math]\alpha=90=\beta
Consideremos una cuaterna de puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ en un plano. Consideremos un sistema de ejes coordenados con origen en algún punto $O$ del plano. El vector $\vec{OP}$, por comodidad va a ser denotado como $\vec{P}$. El punto $\cdot$ va a denotar el producto escalar entre dos vectores, y $\left |\left |\vec{JK}\right |\right |$ va a denotar a la norma o módulo del vector $\vec{JK}$.
Primero, veamos que $AC\perp BD \iff \vec{AC}\perp \vec{BD}$, y esto ocurre si y sólamente si (por la definición de vectores perpendiculares) su producto escalar es 0, es decir: $\iff \vec{BD}\cdot \vec{AC}=0\iff \left (\vec{D}-\vec{B}\right )\cdot \left (\vec{C}-\vec{A}\right )=0$.
Podemos aplicar las propiedades del producto escalar para ver que esto pasa: $\iff \vec{D}\cdot \vec{C}-\vec{D}\cdot \vec{A}-\vec{B}\cdot \vec{C}+\vec{B}\cdot \vec{A}=0$.
Esto ocurre $\iff \vec{C}\cdot \vec{D}+\vec{B}\cdot \vec{A}=\vec{D}\cdot \vec{A}+\vec{B}\cdot \vec{C}$.
Esa igualdad será cierta $\iff -2\vec{C}\cdot \vec{D}-2\vec{B}\cdot \vec{A}=-2\vec{D}\cdot \vec{A}-2\vec{B}\cdot \vec{C}$.
La última igualdad se da si y sólo si al sumar $\vec{A}\cdot\vec{A}+\vec{B}\cdot\vec{B}+\vec{C}\cdot\vec{C}+\vec{D}\cdot\vec{D}$ a ambos lados, las expresiones siguen siendo iguales.
Es decir, esa igualdad es cierta $\iff \left (\vec{C}-\vec{D}\right )^2+\left (\vec{B}-\vec{A}\right )^2=\left (\vec{D}-\vec{A}\right )^2+\left (\vec{C}-\vec{B}\right )^2$.
Pero esta última igualdad se cumple $\iff \left (\vec{DC}\right )^2+\left (\vec{AB}\right )^2=\left (\vec{AD}\right )^2+\left (\vec{BC}\right )^2$, y por definición de norma esto se da si y sólo si:
Usando la conocida propiedad: "Si y solo si, un cuadrilátero tiene sus diagonales perpendiculares, entonces la suma de los cuadrados de los lados opuestos es la misma."
Si las diagonales se cortasen en un ángulo recto, entonces se debe cumplir lo siguiente: [math]AB^2 + CD^2 = BC^2 + CD^2
Reemplazamos los valores: [math]5^2 + 14^2 = 10^2 + 11^2 [math]25 + 196 = 100 + 121 [math]221 = 221
Como es un si y solo si, y se cumple una parte de la afirmación, se cumple la siguiente y el ángulo que sostienen las diagonales es de [math]90.
Si tenés una pizza con un radio [math]Z y una altura [math]A, su volumen será: [math]PI*Z*Z*A.
En un cuadrilátero $ABCD$ ordenados horariamente, sus diagonales se cortan perpendicularmente en $Z$. Sea $AZ = a$, $BZ = b$, $CZ = c$ y $DZ = d$.
Tenemos que:
$AB^2=a^2+b^2$
$BC^2=b^2+c^2$
$CD^2=c^2+d^2$
$DA^2=d^2+a^2$
Como queremos demostrar la ecuación de arriba, reemplazamos los cuatro valores. Nos queda:
$a^2+b^2+c^2+d^2=b^2+c^2+d^2+a^2$
Lo que es facil notar que es verdad ya que se cancela todo.
Para la recíproca se puede tomar la demostración de crimeeee generalizando los valores de los lados, solo sabiendo que es verdad la ecuación.
Si tenés una pizza con un radio [math]Z y una altura [math]A, su volumen será: [math]PI*Z*Z*A.
Podemos trazar dos circunferencias con centro en $D$ y radio $AD$ y con centro en $B$ y radio $AB$. A la primera la denominamos $(D)$ y a la otra $(B)$, entonces $CD$ corta a $(D)$ en $X$ (mas cerca de C) e $Y$ por otro lado $CB$ corta a $(B)$ en $V$ (mas cerca de C) y en $W$.
$AC$ vuelve a cortar a $(D)$ en $P$ y
$AC$ vuelve a cortar a $(B)$ en $Q$.
La idea es probar que $P=Q$ pues esto solo se logra si $AC$ es eje radical de ambas circunferencias y entonces AC y BD serian perpendiculares.
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.
