Mayo 2011 Segundo Nivel Problema 3

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yain.arias

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Mayo 2011 Segundo Nivel Problema 3

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En un triángulo rectángulo $ABC$ tal que $AB=AC$, $M$ es el punto medio de $BC$. Sea $P$ un punto de la mediatriz de $AC$ que pertenece al semiplano determinado por $BC$ que no contiene a $A$. Las rectas $CP$ y $AM$ se cortan en $Q$. Calcular el ángulo que forman $AP$ y $BQ$.
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Kechi

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Re: Mayo 2011 Segundo Nivel Problema 3

Mensaje sin leer por Kechi »

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Vamos probar que $BQ\perp AP$ y por lo tanto forman ángulos de $90°$.
Como $ABC$ es un triángulo rectángulo isósceles $A\widehat CB=45°$, luego $C\widehat MA=90°$ por ser $AM$ mediatriz de $BC$ y $M\widehat AC=45°$.
$Q$ está en la mediatriz de $BC$, entonces $\triangle BCQ$ es isósceles con $Q\widehat BC=B\widehat CQ$. Análogamente $P$ está en la mediatriz de $AC$ por lo que $\triangle ACP$ es isósceles con $P\widehat AC=A\widehat CP$. Luego $P\widehat AQ=P\widehat AC-45°=A\widehat CP-45°=A\widehat CB+B\widehat CP-45°=B\widehat CP=Q\widehat BC$.
Llamemos $K$ a la intersección de $BC$ con $AP$ y $F$ a la de $BQ$ con $AP$. $B\widehat KF=M\widehat KA$ por ser opuestos por el vértice y $P\widehat AQ=Q\widehat BC$, por lo que $\triangle AKM\sim \triangle BKF$ de donde $K\widehat FB=90°$ y $BQ \perp AP$. $\bigstar$
Mayo 2011 P2.png
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"La suma de las raíces cuadradas de dos lados de un triángulo isósceles es igual a la raíz cuadrada del lado restante."
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