Mayo 2003 Primer Nivel Problema 5

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yain.arias

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Mayo 2003 Primer Nivel Problema 5

Mensaje sin leer por yain.arias »

Se tiene un tablero de $4\times 4$. Definimos la separación entre dos casillas como el menor número de movidas que debe emplear un caballo de ajedrez para ir de una casilla a la otra, utilizando movimientos del caballo. Tres casillas $A$, $B$, $C$ forman un trío bueno si las tres separaciones entre $A$ y $B$, entre $A$ y $C$, y entre $B$ y $C$ son iguales. Determinar el número de tríos buenos que se forman en el tablero.

Aclaración: En cada movida, el caballo de ajedrez se desplaza $2$ casillas en dirección horizontal más una casilla en dirección vertical, o se desplaza $2$ casillas en dirección vertical más una casilla en dirección horizontal.
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BR1

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Re: Mayo 2003 Primer Nivel Problema 5

Mensaje sin leer por BR1 »

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Coloreamos las casillas del tablero alternadamente de blanco y de negro, como en un tablero de ajedrez.
Notamos que en cada movimiento, un caballo de ajedrez pasa de una casilla blanca a una negra o pasa de una casilla negra a una blanca.
Entonces la separación entre dos casillas del mismo color es siempre par y la separación entre dos casillas de distinto color es siempre impar.
La separación de las casillas de un trío bueno no puede ser impar, ya que sus tres casillas serían de distinto color (absurdo, hay solo dos colores).
Entonces la separación de las casillas de un trío bueno es obligatoriamente par, entonces sus tres casillas son del mismo color
Por cuestiones de simetría, la cantidad de tríos buenos de casillas blancas es la misma que la cantidad de tríos buenos de casillas negras.
A _ B _
_ C _ D
E _ F _
_ G _ H
La separación de dos casillas es menor o igual a $4$, así que la separación de un trío bueno es igual a $2$ ó a $4$.
● Pares de casillas de separación $2$: $AB, AD, AE, AG, AH, BC, BD, BF, BG, BH, CD, CE, CF, CG, DE, DF, DH, EF, EG, EH, FG, GH$

Contando todos los casos obtenemos que hay $24$ tríos buenos de separación $2$:
$ABD, ABG, ABH, ADE, ADH, AEG, AEH, AGH,$
$BCD, BCF, BCG, BDF, BDH, BFG, BGH, CDE,$
$CDF, CEF, CEG, CFG, DEF, DEH, EFG, EGH$
● Pares de casillas de separación $4$:
$AC, AF, BE, CH, DG, FH$, notamos que no hay tríos buenos de separación $4$.

Como hay $24$ tríos buenos para las casillas blancas, y otros $24$ tríos buenos para las casillas negras, hay $24+24=48$ tríos buenos en total.
ACLARACIÓN: $1$ no es primo
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