Olimpíada de Mayo 2022 N2 P4

[Matías V5]

a) En cada vértice de un triángulo se escribe un entero positivo. Luego, en cada lado del triángulo se escribe el máximo común divisor de sus extremos. ¿Es posible que los números escritos en los lados sean tres enteros consecutivos, en algún orden?
b) En cada vértice de un tetraedro se escribe un entero positivo. Luego, en cada arista del tetraedro se escribe el máximo común divisor de sus extremos. ¿Es posible que los números escritos en los lados sean seis enteros consecutivos, en algún orden?

[Kechi]

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a) Es posible. Un ejemplo es con los números $2$, $3$, y $6$, que tienen como máximo común divisor $1$, $2$ y $3$.

b) Suponiendo que es posible, como son $6$ números consecutivos, hay exactamente $2$ números que son múltiplos de $3$ escritos en las aristas. Entonces los números en los vértices de estas aristas también lo son. Si hay $2$ o menos vértices con un múltiplo de $3$, ninguna o solo una arista tiene escrito un múltiplo de $3$, y si hay $3$ o más vértices con un múltiplo de $3$ entonces hay $3$ o más aristas con un múltiplo de $3$. Por lo tanto no se puede lograr el objetivo.

[Ulis7s]

Para la parte $a)$

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Tengamos en esquema de referencia

Captura de pantalla 2023-12-04 115726.png

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Como $a$,$b$ y $c$ son consecutivos podríamos decir que uno es múltiplo de $1$, otro es múltiplo $2$ y otro es múltiplo de $3$ ( Esto se saca por Palomar). Luego para un caso chico para no hacernos la vida tan complicada podría ser $a=1$ , $b=2$, y $ c=3$ y sabemos que para que el $mcd(A,B)=1$ es porque $A$ y $B$ son coprimos. Luego como $mcd(B,C)=2$ es porque $B$ y $C$ son de la forma $2k$ y como el $mcd(A,C)=3$ es porque $A$ y $C$ son de la forma $3k$. Luego $A=3$; $B=2$ y $C=2 . 3 = 6$

Para la parte $b)$

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Tengamos un esquema de referencia(Desarrollo plano de un tetraedro):

Captura de pantalla 2023-12-04 121619.png

Primero afirmemos que se puede para ver si no hay ninguna contradicción. Sean $a,b,d,e,h,i$ los $6$ números consecutivos entonces hay solamente $2$ múltiplos de $3$ entre ellos. Vamos a ver 2 casos:
$ 1)$ Si los números comparten un vértice por ejemplo $a$ y $b$ va a pasar que todos sus vértices van a ser de la forma 3k por lo que $c$ va a ser de la forma $3k$ y van a haber y serian $3$ múltiplos de $3$. Contradicción.
$2)$ Si los números no comparten un vértice pasara que los $4$ números de los vértices serán múltiplos de $3$ entonces también es una contradicción.
Como llegamos a $2$ absurdos no se puede y damos por dicho que es implosible