Olimpíada de Mayo 2022 N1 P5

[Matías V5]

Vero tenía un triángulo isósceles de papel. Usando una tijera, lo dividió en tres triángulos más pequeños y los pintó de azul, rojo y verde. Una vez hecho esto, observó que:

• con el triángulo azul y el triángulo rojo se puede formar un triángulo isósceles;
• con el triángulo azul y el triángulo verde se puede formar un triángulo isósceles;
• con el triángulo rojo y el triángulo verde se puede formar un triángulo isósceles.

Mostrar cómo puede haber sido el triángulo de Vero y cómo puede haber hecho los cortes para que esta situación sea posible.

[Gregorio]

A alguien se le ocurre la solución? Hay alguna forma piola de pensar este tipo de problemas que no sea un "bueno, vamo' a probar"?

[BR1]

$Solución$:

Spoiler: mostrar

Consideremos el triángulo $ABC$, con $AB=BC$, y $\angle ABC=2\alpha=45°$.
Sea $D$ el pie de la perpendicular de $BC$ por $A$, y $E$ el pie de la bisectriz de $\angle ABC$ en $AD$:

triángulo1.jpg

Como $\angle ABD=45°$ y $\angle ADB=90°$, el ángulo $\angle BAD$ mide $180°-90°-45°=45°$, por lo que el triángulo $ABD$ es isósceles y $AD = DB$.

Como $ABC$ es isósceles, $\angle BAC= \angle BCA = 67,5° = 3\alpha$. Como $\angle BAD + \angle CAD = \angle BAC$, entonces $2\alpha+\angle CAD = 3\alpha$ Y $\angle CAD = \alpha$.

triángulo2.jpg

De esta forma, por el criterio $ALA$ (ángulo - lado - ángulo), deducimos que los triángulos $ACD$ y $EDB$ son congruentes, y comprobamos fácilmente que podemos armar un triángulo isósceles con estos dos.
Usando los triángulos $AEB$ y $EDB$ formamos el triángulo isósceles $ADB$. Podemos hacer lo mismo con los triángulos $AEB$ y $ACD$ (ya que los triángulos $ACB$ y $EDB$ son iguales).
Esto completa la solución