Zonal 2022 - N2 P2

[Gianni De Rico]

Distribuir en las casillas del tablero los números $35$, $40$, $44$, $46$ y $55$ de modo que el promedio de los números de las dos primeras casillas sea entero, el promedio de los números de las tres primeras casillas sea entero, el promedio de los números de las cuatro primeras casillas sea entero y el promedio de los números de las cinco casillas sea entero. Mostrar un tablero para cada posibilidad.\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
\quad & \quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}

[dayto]

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A mi me dió 2, pero no sabía si los numeros se pueden repetir.

[GabrielGz]

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40,46,55,35,44 (se pueden alternar el 40 y el 46)

[Edu Carranza]

Problema similar:
https://www.omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=16&t=4283

[Camotus]

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Para que la suma de los dos primeros y de los cuatro primeros sea par, hay dos secuencias de paridad posibles: PPIIP, IIPPP
Para la primera:40;46;55;35;44 o bien 46;40;55;35;44.
En la segunda debería ser 55;35;a;b;c. Pero 35+55 es múltiplo de 3 y ninguno de los números pares es múltiplo de 3, por lo tanto no puede comenzar con número impar. Esto muestra que no hay otra secuencia posible.

[drynshock]

Estaba practicando para el Nivel 3 y cuando vi el problema 1 de 2017 salte a buscar este problema. ES EXACAMENTE EL MISMO. Me lo tomaron el año pasado, igual dejo mi solución:

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Primero trabajemos con que los primeros 3 tienen que promediar un múltiplo de 3 para que de entero.
Si vemos los números los únicos que cumplen por el criterio de divisibilidad del 3 son 40, 46, 55.

Ahora como los primeros dos tienen que promediar un múltiplo de 2, los números van a ser si o si 40 y 46 (En cualquier orden)

Por ultimo nos queda que los 4 primeros tienen que sumar un múltiplo de 4 por lo que tenemos que sumar un impar para que la suma quede par. Por descarte llegamos a que el ordenamiento tiene que ser:

40, 46, 55, 35, 44
46, 40, 55, 35, 44

[Ulis7s]

$ Resolución $ :

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Es claro que como $(a+b):2$ es entero $a+b$ es par, luego supongamos que $a$y $b$ son impares $(35 y 55)$, luego $(a+b+c):3$ es entero $a+b+c$ $\equiv$ $0 (mod 3)$
por lo que $c+90$ $\equiv$ $0$ $(mod 3)$ y eso nos deja con $c$ $\equiv$ $ 0$ $(mod 3)$. Lo cual no puede pasar porque $40,44$ y $46$ no son múltiplos de $3$.
Luego $a$ y $b$ son pares y eso nos deja con algunos casos, pero primero analicemos los restos de $40,44$ y $46$ en la división por $3$:
$40$ $\equiv$ $1 (3)$
$44$ $\equiv 1 (3)$
$46$ $\equiv 2 (3)$
Luego si tomamos $2$ que tengan suma $\equiv 0 (mod 3)$ $c \equiv 0 (3)$ por lo que tampoco existe $c$.
Entonces debemos tomar $2$ que tengan suma $\equiv 2 (mod 3)$, o sea $40$ y $44$. Luego $c \equiv 1 (mod 3)$ y $c=55$.
Luego la secuencia va $40,44,55, x$ y su suma debe ser par ( ya que $4$ es par) luego $x=35$ y por consiguiente el ultimo numero es $46$.
Aclaración: $40$ y $44$ se pueden cambiar de lugar en la secuencia. Por lo tanto nos deja con $2$ posibilidades:
$40,44,55,35,46$ o $44,40,55,35,46$