Provincial 2022 N1 P2

[Gianni De Rico]

En un triángulo $ABC$, sea $A'$ el simétrico de $A$ con respecto a la recta $BC$ y sea $B'$ el simétrico de $B$ con respecto a la recta $AC$. Si se sabe que $B\widehat{A'}C=B\widehat{B'}C$, decidir si es posible que
a) el mayor ángulo del triángulo se encuentre en el vértice $A$;
b) el mayor ángulo del triángulo se encuentre en el vértice $B$;
c) el mayor ángulo del triángulo se encuentre en el vértice $C$.
En cada caso, si la respuesta es sí, dar un ejemplo que satisfaga las condiciones, y si la respuesta es no, demostrar que es imposible.

[magnus]

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Llamamos a la intersección de $AC$ y $B'B$ como el punto $M$.
Comenzamos notando que por simetría y el enunciado en sí $C\hat{A'}B$=$\hat{A}$=$M\hat{B'}C$=$M\hat{B}C$=$β$
Sabemos que $M\hat{B}C$=$β$ entonces $A\hat{B}C$ será $β+x$ siendo $x$ un valor de ángulo que todavía no conocemos y como el ángulo $C\hat{A}B$=$β$ entonces como ya hay otro ángulo del triángulo que es su valor más otro valor de ángulo que no sabemos $C\hat{A}B$ no puede ser el mayor de este triángulo.
Vemos el triángulo $B'CM$ tiene por ángulos a $β$, $90°$ y a $B'\hat{C}M$=$90°-β$ como este ángulo es simétrico a $B\hat{C}M$ entonces también es congruente.
Ahora vemos el triángulo $ABC$, con todo lo anterior vemos que $A\hat{B}C$=$90°-2.β$ Y como $90°-2.β$ es menor a $90°-β$ entonces el mayor ángulo del triángulo $ABC$ es siempre $A\hat{C}B$

[Lean]

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a) Si $\widehat{A}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{BA'C}=\widehat{BB'C}$, pero $\widehat{BA'C}=90^{\circ}$, y $\widehat{BB'C}<90$ ya que $B,A,B'$ estan alineados. No es posible.

Sean $E$ y $D$ los pies de las perpendiculares desde $B$ y $A$ a $\overline{AC},\overline{BC}$ respectivamente. Si $\widehat{A}<90 \Rightarrow \widehat{B'BC}=\widehat{BA'C}=\widehat{BAC}$, ya que $\widehat{BDA}=\widehat{BEA}=90^{\circ}$, absurdo, ya que $\widehat{DAC}=\widehat{DBB'}<\widehat{BAC}$. No es posible.

Si $\widehat{A}>90 \Rightarrow \widehat{BA'C}>\widehat{BB'C}$ pero $\widehat{BA'C}=\widehat{BB'C}$, absurdo. No es posible.

b) Cuando $\widehat{B}=90^{\circ}, \widehat{A}=\widehat{C}=45^{\circ}$, es posible ya que $\widehat{BA'C}=\widehat{BB'C}=45^{\circ}$, de donde $\widehat{ACB'}=\widehat{BB'A}=\widehat{ABB'}=\widehat{BAC}=45^{\circ}$. Como $\overline{AB}=\overline{BA'}, \widehat{ACA'}=90^{\circ} \Rightarrow \overline{AB}=\overline{BA'}=\overline{BC}$ y no hay ningun absurdo.

c) Cuando $\widehat{C}=120^{\circ}, \widehat{A}=\widehat{B}=30^{\circ}$, es posible $\Rightarrow \widehat{BB'C}=\widehat{CBB'}=\widehat{CAB'}=\widehat{CAB}=\widehat{AB'C}=\widehat{ABC}=30^{\circ}$, donde $A'=B'$.