CIMA 2022 - P6

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MateoCV

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CIMA 2022 - P6

Mensaje sin leer por MateoCV »

Para cada entero positivo $n$, denotemos por $p_n$ la probabilidad de que Ana le gane a Beto en el siguiente juego cuando ambos juegan de manera óptima:
$\:\:\:\:$ Primero Ana elige una secuencia de caras y cecas de longitud $n$. A continuación Beto hace lo mismo, seleccionando una secuencia distinta de la de Ana. Una vez fijadas ambas secuencias, se tira una moneda reiteradamente hasta que en los resultados de las tiradas aparezca de manera consecutiva alguna de las secuencias seleccionadas. Gana quien haya elegido la secuencia que apareció.
$\:\:\:\:$ Demostrar que existe y calcular$$\lim \limits _{n\to \infty}p_n.$$
$2^{82589933}-1$ es primo
alerodri1976
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Re: CIMA 2022 - P6

Mensaje sin leer por alerodri1976 »

Respuesta incompleta
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Supongamos que Ana elige una secuencia $A={a(1),a(2),…,a(n-1),a(n)}$.

Llamemos $X={a(1),a(2),…,a(n-1)}$. Notemos que Beto siempre puede elegir una de las siguientes secuencias

$B^0={0,X}$
$B^1={1,X}$

Supongamos que arrancamos el juego y llegamos a un caso donde tenemos una secuencia de $X$. Llamemos $y$ al resultado de la moneda anterior a que comience la secuencia $X$. Calculemos la probabilidad de que gane Ana gane el juego dado $X$. Primero tenemos que chequear que no haya ganado Beto. Definimos

$Q_0 = P(y=0|X)$
$Q_1 = P(y=1|X) = 1 - Q_0$

Si Beto jugó $B^0$ la probabilidad de que Beto no haya ganado es $1-Q_0$ y la probabilidad de que gane Ana es

$P(A,B^0) = (1-Q_0)/2 + (1- Q_0)P(A,B^0)/2$

o

$P(A,B^0) = (1-Q_0)/(1+Q_0)$

Si Beto jugó $B^1$ entonces la probabilidad de que gane Ana es

$P(A,B^1) = (1-Q_1)/(1+Q_1) = (Q_0)/( 2 - Q_0)$

Si $Q_0 = 1/2$ entonces $P(A,B^0) = P(A,B^1) = 1/3$
Si $Q_0 > 1/2$ entonces $P(A,B^0) < 1/3$ y $P(A,B^1) > 1/3$
Si $Q_0 < 1/2$ entonces $P(A,B^0) > 1/3$ y $P(A,B^1) < 1/3$

Mi conjetura es que a medida que $n→∞$ entonces $Q_0→1/2$

Notemos también que estamos suponiendo que cuando llegamos a la secuencia $X$ hay una moneda que se tiró antes o sea que no estamos contemplando el caso donde sacamos la secuencia $X$ de entrada. Pero si $n→∞$ entonces la probabilidad de que suceda esto tiende a 0 y podemos obviar ese caso.

Resumiendo: Podemos ver que Beto aparentemente tiene una estrategía que le da una probabilidad de ganar del 2/3 y a Ana de 1/3.

Lo que falta probar es que $Q_0→1/2$ cuando $n→∞$ y que Beto no tiene una estrategia mejor.
Última edición por alerodri1976 el Sab 29 Abr, 2023 8:51 pm, editado 1 vez en total.
alerodri1976
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Re: CIMA 2022 - P6

Mensaje sin leer por alerodri1976 »

Un poco de información sobre este problema
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El juego que juegan Ana y Beto se conoce como Penney´s Ante Game. https://en.wikipedia.org/wiki/Penney%27s_game
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