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CIMA 2022 - P1

Publicado: Lun 26 Sep, 2022 5:10 pm
por MateoCV
Consideremos un tetraedro en $\mathbb{R}^3$. Sobre cada cara se define un vector ortogonal a ella, de magnitud igual a su área. Probar que la suma de los cuatro vectores es igual a $0$.

Re: CIMA 2022 - P1

Publicado: Dom 06 Nov, 2022 3:44 pm
por EmRuzak
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El producto cruz de dos vectores en $\mathbb{R}^3$, $a \times b$ es el vector que es perpendicular a estos dos, su magnitud es el area de un paralelogramo que tiene como lados $a$ y $b$, y su orientación esta dada por la regla de la mano derecha.

Supongamos sin perdida de generalidad que uno de los vertices del tetraedro es el origen, y los demás tienen coordenadas iguales a los vectores $a$,$b$,$c$
geogebra-export.png
La suma de los $4$ vectores perpendiculares a las caras del tetraedro, que apuntan hacia el interior, y tienen magnitud igual al area de los lados es:
$S=a \times c + b \times a + c \times b + (c-b) \times (a-b)$
Utilizando la propiedad distrubutiva con la suma y la propiedad $a \times b=- b \times a$
$S=a \times (c - b) + c \times b + (c-b) \times (a-b)$
$S= (c - b) \times (-a) + (c-b) \times (a-b) + c \times b$
$S= (c - b) \times (-b) + c \times b$
$S= b \times (c-b) + b \times (-c)$
$S= b \times (-b)=(0,0,0)$ (ya que el paralelogramo tendría area 0)

Re: CIMA 2022 - P1

Publicado: Dom 06 Nov, 2022 4:37 pm
por Gianni De Rico
EmRuzak escribió: Dom 06 Nov, 2022 3:44 pm
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La suma de los $4$ vectores exteriores perpendiculares al tetraedro con magnitud igual al area de los lados es:
$S=a \times c + b \times a + c \times b + (c-b) \times (a-b)$
Utilizando la propiedad distrubutiva con la suma y la propiedad $a \times b=- b \times a$
$S=a \times (c - b) + c \times b + (c-b) \times (a-b)$
$S= (c - b) \times (-a) + (c-b) \times (a-b) + c \times b$
$S= (c - b) \times (-b) + c \times b$
$S= b \times (c-b) + b \times (-c)$
$S= b \times (-b)=(0,0,0)$ (ya que el paralelogramo tendría area 0)
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Ojo igual que acá estás suponiendo que los vectores apuntan todos "para adentro" del tetraedro, que es lo que necesitás para que ande (podrían apuntar todos "para afuera" también), pero no lo dice en el enunciado (en la prueba lo aclararon igual y se puede ver que si no apuntan todos para el mismo "lado" [afuera o adentro] del tetraedro, el problema es falso).