FOFO 12 Años - Problema 1

[Gianni De Rico]

Un saltamontes se encuentra al inicio de un camino de $2022$ metros que conduce a su casa. Para llegar a ella el saltamontes va a ir realizando saltos hacia adelante de manera que la longitud de cada salto sea una cantidad entera (no nula) de metros y que en cada salto recorra una distancia mayor que en el salto anterior.
¿Cuántos saltos realizó el saltamontes para llegar a su casa? Dar todas las posibilidades.

[Gianni De Rico]

Solución Oficial:

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Primero que nada, como en cada salto el saltamontes avanza una cantidad entera de metros y avanza más que en el salto anterior, entonces si en un salto avanzó $k$ metros, en el siguiente debe avanzar al menos $k+1$ metros.
En el primer salto avanza al menos un metro, en el segundo salto avanza al menos dos metros, y así siguiendo, en el salto número $k$ avanza al menos $k$ metros (si uno quiere puede hacer inducción para probar esto). Entonces en $n$ saltos avanza al menos $1+2+\cdots +n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ metros. Probando un poco (o resolviendo la cuadrática $\dfrac{n(n+1)}{2}=2022$) encontramos que con $n=64$ el saltamontes avanza al menos $\dfrac{64\cdot(64+1)}{2}=2080$ metros, de modo que se pasa de su casa. Si hace más de $64$ saltos también se pasa. Entonces el saltamontes puede llegar a su casa únicamente realizando entre $1$ y $63$ saltos. Falta ver que todas las opciones son posibles.
Para llegar en $63$ saltos hace un salto de $1$ metro, un salto de $2$ metros, y así va aumentando en $1$ metro cada salto hasta que llega a $62$ metros, finalmente realiza un salto de $69$ metros, que anda porque $1+2+\cdots +62+69=2022$. Si llegó en $k$ saltos puede llegar en $k-1$ saltos haciendo los dos últimos saltos juntos. Por ejemplo, para llegar en $62$ saltos hace un salto de $1$ metro, un salto de $2$ metros, y así va aumentando en $1$ metro cada salto hasta que llega a $61$ metros, finalmente, realiza un salto de $62+69$ metros; para llegar en $61$ saltos hace saltos de longitudes $1$, $2$, $\ldots$, $60$ metros y un salto de $61+62+69$ metros. Esto funciona siempre porque el último salto mide al menos $69$ metros y los demás miden a lo sumo $62$ metros.
Entonces el saltamontes puede haber realizado entre $1$ y $63$ saltos para llegar a su casa.

[usuario250]

Consulta, cuán complejo sería el problema de determinar la cantidad de posibilidades en que el saltamontes haga los saltos para cada una de las posibles cantidades de saltos?

[Gianni De Rico]

Este comentario es para avisar que ya está publicada la solución oficial.