Sean $A$, $X$, $Y$ tres puntos no alineados del plano. Construir con regla no graduada y compás un cuadrado $ABCD$ tal que uno de sus vértices sea $A$ y además $X$ esté en la recta determinada por $B$ y $C$ e $Y$ esté en la recta determinada por $C$ y $D$.
Construcción:
Trazamos la mediatriz de $XY$, que corta al segmento en su punto medio $O$. Trazamos la circunferencia $\omega$ de centro $O$ y radio $OX=OY$. Marcamos el punto $Z$ como la intersección de la mediatriz de $XY$ con $\omega$ en el semiplano determinado por $XY$ opuesto al punto $A$ (podemos porque no están alineados). Marcamos $C$ como el segundo punto de intersección de la recta $AZ$ con $\omega$ (*). Marcamos $B$ como el punto de intersección de la perpendicular a $YC$ por $A$ con $YC$ y marcamos $D$ como el punto de intersección de la perpendicular $XC$ por $A$ con $XC$ (**).
Demostración de que anda:
Como $\omega$ tiene centro en el punto medio $O$ de $XY$, entonces $XY$ es diámetro, así que $\angle XZY=90^\circ$. Pero $XZ=YZ$ porque $Z$ está en la mediatriz de $XY$, así que $\angle XYZ=45^\circ =\angle ZXY$. Por arco capaz resulta $\angle XCZ=\angle XYZ=45^\circ =\angle ZXY=\angle ZCY$. Por opuestos por el vértice tenemos que $\angle DCA=45^\circ =\angle ACB$. Como $\angle ADC=90^\circ =\angle CBA$, tenemos que $ACD$ y $ABC$ son triángulos rectángulos isósceles, y como además tienen la hipotenusa $AC$ en común, resulta que son congruentes. Entonces $AB=BC=CD=DA$ y $\angle DAB=\angle ABC=\angle BCD=\angle CDA=90^\circ$, así que $ABCD$ es un cuadrado.
(*) Si $A\in \omega$ y $AXY$ no es isósceles, entonces no existe ningún cuadrado que cumpla las condiciones del problema. En efecto, supongamos que existe tal cuadrado, como $BC\perp CD$, entonces $XC\perp CY$, lo que nos dice que $C\in \omega$. Como $AC$ es bisectriz de $\angle BCD$, entonces $AC$ es o bien la bisectriz interior o bien la bisectriz exterior de $\angle XCY$, así que $A$ es el punto medio de alguno de los arcos $XY$ de $\omega$, es decir que $AXY$ es isósceles. Absurdo. Se sigue que no existe tal cuadrado.
Si $A\in \omega$ y $AXY$ es isósceles, tomamos $C=Z$, $B=X$ y $D=Y$. Es claro que es un cuadrado. (**) Para trazar la perpendicular podemos dibujar la circunferencia de diámetro $AC$.
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los 3 puntos a x y forman un triangulo porque no estan alineados y con regla no graduada y compas se puede formar un paralelogramo de la siguiente manera:
20240130_152435.jpg
se marcará el punto donde la perpendicular a la recta x´y pasa por A y será D(en la solucion de gianni de rico se muestra como hacer).
luego tomas x´d(con el compas) y se lo agregas a x´(con la regla)y del lado de y(con esto te aseguras que xc será la perpendicular de x´y), Donde termine esta prolongación será c y x será b porque no impiden eso en el enunciado y tenemos nuestro abcd.
Si algo esta mal estoy abierto a cualquier corrección.
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