Simulacro Nacional 2022 Politecnico - Nivel 3 Problema 3

[Fedex]

Sea $x$ un real positivo tal que$$\left \{\frac{1}{x}\right \}=\{x\}=\left \{x^{2022}\right \}.$$Demostrar que $x=1$.

Aclaración: $\{a\}$ es la parte fraccionaria del número real $a$. Por ejemplo, $\{12,34567\}=0,34567$ y $\left \{\dfrac{4}{3}\right \}=0,\overset \frown 3$.