OFO 2023 Problema 4

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LorenzoRD

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OFO 2023 Problema 4

Mensaje sin leer por LorenzoRD »

Bruno y Nico escribieron varios enteros positivos en un pizarrón. Se sabe que la suma de los números escritos por Bruno es igual a la suma de los números escritos por Nico. Además, el producto de los números escritos en el pizarrón es igual a la cantidad total de números escritos en él.
  • $\text{a)}$ Probar que la cantidad de números escritos en el pizarrón es par.
  • $\text{b)}$ Probar que la cantidad de números escritos en el pizarrón es múltiplo de $4$.
Ver este mensaje... te llena de determinación.
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LorenzoRD

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Re: OFO 2023 Problema 4

Mensaje sin leer por LorenzoRD »

Aquí publicaremos la solución oficial.
Ver este mensaje... te llena de determinación.
FabriATK

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Re: OFO 2023 Problema 4

Mensaje sin leer por FabriATK »

Ya que nadie la publica... Solución(con muchos simbolitos innecesarios):
Spoiler: mostrar
Sean $b_1,b_2,...,b_K$ los $K$ números escritos por Bruno.
y $n_1,n_2,...,n_L$ los $L$ números escritos escritos por Nico.

Sabemos que $\sum_{i=1}^{K} b_i = \sum_{o=1}^{L} n_o$

y que $\prod_{i=1}^{K} b_i \times \prod_{o=1}^{L} n_o = K+L$

a)
Spoiler: mostrar
Si uno de los números escritos es par entonces $\prod_{i=1}^{K} b_i \times \prod_{o=1}^{L} n_o$ es par y $K+L$ es par y estamos.

Supongamos, entonces, que todos los números son impares:
Como $b_1 \equiv b_2 \equiv ... \equiv b_K \equiv 1 \pmod{2} \Rightarrow \sum_{i=1}^{K} b_i \equiv K \pmod{2}$

Análogamente:
Como $n_1 \equiv n_2 \equiv ... \equiv n_L \equiv 1 \pmod{2} \Rightarrow \sum_{o=1}^{L} n_o \equiv L \pmod{2}$

Pero
$\sum_{i=1}^{K} b_i = \sum_{o=1}^{L} n_o \Rightarrow K\equiv L \pmod{2}$
$\Rightarrow 2\mid K+L$ (o son dos pares sumados, o son dos impares sumados)
b)
Spoiler: mostrar
$2\mid K+L \Rightarrow 2 \mid \prod_{i=1}^{K} b_i \times \prod_{o=1}^{L} n_o$
Es decir que al menos uno de los números escritos es par.
Si dos de los números son pares, entonces $4\mid \prod_{i=1}^{K} b_i \times \prod_{o=1}^{L} n_o = K+L$ y estamos.

Supongamos que sólo existe un número par. Y supongamos WLOG, que ese número par es de Bruno.
$2\mid K+L \Rightarrow K \equiv L \pmod{2}$
Y hay dos opciones:
1)
Spoiler: mostrar
$K \equiv L \equiv 0 \pmod{2}$
Es decir, Bruno tiene $K-1$ impares y un par, mientras que Nico tiene $L$ impares.
$\sum_{i=1}^{K} b_i \equiv \sum_{o=1}^{L} n_o \pmod{2}$
$(K-1)\times 1 + 1\times 0 \equiv L\times 1 \pmod{2}$
$1\times 1 + 0 \equiv 0\times 1 \pmod{2}$
$1 \equiv 0 \pmod{2}$ Absurdo.
2)
Spoiler: mostrar
$K \equiv L \equiv 1 \pmod{2}$
Es decir, Bruno tiene $K-1$ impares y un par, mientras que Nico tiene $L$ impares.
$\sum_{i=1}^{K} b_i \equiv \sum_{o=1}^{L} n_o \pmod{2}$
$(K-1)\times 1 + 1\times 0 \equiv L\times 1 \pmod{2}$
$0\times 1 + 0 \equiv 1\times 1 \pmod{2}$
$0 \equiv 1 \pmod{2}$ Absurdo.
Es decir, hay al menos dos números pares.
Luego, $4\mid \prod_{i=1}^{K} b_i \times \prod_{o=1}^{L} n_o = K+L$ y estamos
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