OFO 2023 Problema 1

[Fiebre]

Ian tiene una calculadora muy especial. Esta calculadora permite mostrar tres números en orden y posee un único botón. Al presionar el botón, los números cambian simultáneamente de la siguiente forma:

• El primer número se reemplaza por la suma del primero y el segundo.
• El segundo número se reemplaza por la suma del segundo y el tercero.
• El tercer número se reemplaza por la suma del tercero y el primero.

De este modo, si al principio los números mostrados son $1$, $2$ y $-3$, luego de apretar el botón la pantalla mostrará los números $3$, $-1$ y $-2$.
¿Qué números mostrará la calculadora si se presiona el botón $2023$ veces y al principio los números mostrados son $1$, $2$ y $-3$?

[Fiebre]

Aquí publicaremos la solución oficial.

[Pastel DE papa¿¿¿¿]

KE ONDA acaso x ser el problema uno se lo exime de tener solución oficial?

[alerodri1976]

Spoiler: mostrar

Llamemos $A(i)$, $B(i) $ y $C(i)$ a los números que aparecen luego de apretar $i$ veces el botón. Dadas las reglas del juego

$A(i)= A(i-1)+B(i-1)$
$B(i)= B(i-1)+C(i-1)$
$C(i)= A(i-1)+C(i-1)$

Llamemos $S(i)$ a la suma de los tres números

$S(i) = A(i)+ B(i)+C(i)$

Usando las reglas del juegos

$S(i)=A(i-1)+B(i-1)+ B(i-1)+C(i-1)+ A(i-1)+C(i-1)=2*S(i-1)$

Como $S(0)=1+2–3=0$ entonces $S(i)=0$ para todo $i>0$. Con este resultado podemos mostrar que

$A(i)=-C(i-1)$
$B(i)=-A(i-1)$
$C(i)=-B(i-1)$

Veamos que sucede después de apretar $3$ veces el botón

$A(3)=-C(2)=B(1)=-A(0)$
$B(3)=-A(2)=C(1)=-B(0)$
$C(3)=-B(2)=A(1)=-C(0)$

O sea que si apretamos $3$ veces el botón volvemos a los mismos números con los que arrancamos, pero con el signo cambiado. Por lo tanto, si apretamos $6$ veces el botón volvemos a la configuración original. Como $2022$ es múltiplo de $6$ entonces

$A(2022)=A(0)=1$
$B(2022)=B(0)=2$
$C(2022)=C(0)=-3$

Y

$A(2023)= -C(2022)=3$
$B(2023)=-A(2022)=-1$
$C(2023)=-B(2022)=-2$