Sea $ABC$ un triángulo con $B\widehat AC=90^\circ$ y $B\widehat CA=34^\circ$. Desde el vértice $A$ se trazan la altura y la mediana que cortan a la hipotenusa en $D$ y en $E$, respectivamente. Calcular la medida del ángulo $D\widehat AE$.
La respuesta es 22⁰, nose si se puede subir una foto para poder explicar así que lo voy a hacer aca por texto. Para este ejercicio es importante conocer el teorema que plantea que cuando tenemos un triangulo rectángulo y se traza la mediana de la hipotenusa,
esa mediana va a ser igual a la mitad de la hipotenusa, es decir 2*m=c. (m mediana, c hipotenusa). Sabiendo esto el problema sale fácil ya que el triángulo AEC es isosceles, por lo que el angulo EÂC=AĈE=34⁰. El ángulo ABE se calcula por suma de angulos interiores de un triangulo(180), por lo que ABE=180-90-34=56 y se hace lo mismo con el traingulo ADB, quedando que el angulo BÂD=34⁰. Finalmente 90⁰-34⁰-34⁰=22⁰
Como $AD$ es altura del triángulo $ABC$ rectángulo en $A$, tenemos que los triángulos $ABC$, $DBA$ y $DAC$ son semejantes. Entonces $\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DA}=\frac{DA}{DC}$.
Por lo tanto, $(\frac{AB}{AC})^2=\frac{DB}{DA} \cdot \frac{DA}{DC}= \frac{BD}{DC}$
Además, como $E$ es punto medio de $BC$, tenemos $\frac{BE}{EC}=1$ y luego $(\frac{AB}{AC})^2=\frac{BD}{DC} \cdot \frac{BE}{EC}$, de donde se sigue que $AD$ y $AE$ son isogonales, deduciendo así que $B\widehat{A}D=C\widehat{A}E$.
Intercolegial-N2-P3.jpg
Como $AD$ es altura del triángulo $ABC$ rectángulo en $A$, tenemos que los triángulos $ABC$, $DBA$ y $DAC$ son semejantes. Entonces $\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DA}=\frac{DA}{DC}$.
Por lo tanto, $(\frac{AB}{AC})^2=\frac{DB}{DA} \cdot \frac{DA}{DC}= \frac{BD}{DC}$
Además, como $E$ es punto medio de $BC$, tenemos $\frac{BE}{EC}=1$ y luego $(\frac{AB}{AC})^2=\frac{BD}{DC} \cdot \frac{BE}{EC}$, de donde se sigue que $AD$ y $AE$ son isogonales, deduciendo así que $B\widehat{A}D=C\widehat{A}E$.
Cuando la prueba terminó y estábamos discutiendo los problemas fuera de las aulas una persona me preguntó si había una solución sin usar trigonometría o mediana correspondiente a la hipotenusa, no supe responderle en el momento, espero que pueda leer esto.
Teorema de la mediana (acá podría decir Teorema de Stewart, que es una generalización del teorema de la mediana, pero llegamos a las mismas cuentas con ambos caminos y voy a escribir lo que trae menos renglones) Teorema de Pitágoras
Una vez que nos queda que la hipotenusa es el doble de la mediana notamos que:
$$ AE = BE = CE $$
Y ya podemos terminar la resolución como más arriba han detallado en otra respuesta al post, completando ángulos aprovechando los triángulos isósceles que encontramos (AEB y AEC).
Ni con todas las fórmulas del mundo puedo despejarte de mi cabeza
Fiebre escribió: ↑Mié 24 May, 2023 9:52 am
Cuando la prueba terminó y estábamos discutiendo los problemas fuera de las aulas una persona me preguntó si había una solución sin usar trigonometría o mediana correspondiente a la hipotenusa, no supe responderle en el momento, espero que pueda leer esto.
Teorema de la mediana (acá podría decir Teorema de Stewart, que es una generalización del teorema de la mediana, pero llegamos a las mismas cuentas con ambos caminos y voy a escribir lo que trae menos renglones) Teorema de Pitágoras
Me parece que cualquier persona que sepa tu primer ingrediente ya sabe lo que es la mediana a la hipotenusa, acá dejo lo que me contó un chico que no conocía nada de eso
Notar haciendo angulitos que $BDA\simeq ADC$, de donde $\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{AD}{DC}$. Como $BD=BE-DE$ y $DC=DE+EC=DE+BE$, nos queda $\dfrac{BE-DE}{DA}=\dfrac{AD}{DE+BE}$. Multiplicando cruzado y usando diferencia de cuadrados nos da $BE^2-DE^2=AD^2$, que reordenando es$$BE^2=AD^2+DE^2=AE^2,$$donde la última igualdad es por Pitágoras en $ADE$. Entonces $AE=BE=CE$, y de ahí podemos terminar el problema.
Por suma de ángulos interiores de un tríangulo podemos ver que $C\widehat{B}A = 180°-90°-34°=56°$
Tenemos que si llamamos a $E$ al punto en $CB$ tal que $EB$ es mediana entonces $E$ es punto medio de $BC$ y por "el lema más importante de tu vida" $CE=EB=EA$
Como $EB=EA$ entonces el triángulo $AEB$ es isoscles entonces como a lados congruentes se le oponen lados congruentes entonces $C\widehat{B}A = E\widehat{A}B= 56°$ .
Llamo $D$ al punto en el que la altura por $A$ corta a la hipotenusa $CB$. Entonces $DBA$ es un triángulo réctangulo en $D$. Por suma de ángulos interiores de un triángulo tenemos que $D\widehat{A}B=180°- A\widehat{D}B - C\widehat{B}A=180°- 90°-56°= 34°$.
Entonces ya podemos saber el ángulo que nos pide: $D\widehat{A}E=E\widehat{A}B - D\widehat{A}B=56°-34°=22°$
