Provincial 2023 N2 P1

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Lean

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Provincial 2023 N2 P1

Mensaje sin leer por Lean »

Hallar todos los enteros positivos $n$ para los que $n$ tiene una cantidad impar de divisores y $n+2023$ también tiene una cantidad impar de divisores positivos

Aclaración: Si $k$ es un entero, entre sus divisores positivos se encuentra $1$ y $k$.
"El mejor número es el 73".
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marcoalonzo

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Re: Provincial 2023 N2 P1

Mensaje sin leer por marcoalonzo »

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Sea $n=p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2}\cdot\ldots \cdotp_k^{e_k}$ la factorización en primos de $n$, con $p_h$ primo. La cantidad de divisores de $n$ es $(e_1+1)\cdot(e_2+1)\cdot \ldots\cdot(e_k+1)$, y se tiene que $(e_1+1)\cdot(e_2+1)\cdot\ldots\cdot(e_k+1)\equiv 1\pmod2$, de modo que $e_i+1\equiv 1\pmod2\implies e_i\equiv 0\pmod2$ para todo $1\leq i\leq k$ y entero. Con lo cual $e_i=2t_i$. Por lo tanto, sustituyendo en la factorización en primos de $n$ se obtiene $n=p_1^{2t_1}\cdot p_2^{2t_2}\cdot\ldots \cdotp_k^{2t_k}=(p_1^{t_1}\cdot p_2^{t_2}\cdot\ldots\cdot p_k^{t_k})^2=a^2$, con $a$ entero positivo.
De manera análoga, $n+2023=b^2$ (con $b$ entero positivo), entonces $n=b^2-2023$
Luego, igualando queda que $a^2=b^2-2023$, de donde $2023=b^2-a^2=(b+a)(b-a)$. Los divisores de $2023$ son $D_{2023}=\{1; 7; 17; 119;289; 2023\}$, con lo que multiplicando las parejas correspondientes de divisores se obtendrá $2023$
Como $a$ y $b$ son enteros positivos, ocurre que $b+a>b-a$.
Luego los posibles casos son
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
b+a&b-a&n=a^2\\ \hline
2023&1&1011^2\\ \hline
289&7&141^2\\ \hline
119&17&51^2\\ \hline
\end{array}$
Por lo tanto los enteros positivos $n$ que cumplen las condiciones del enunciado son $51^2, 141^2, 1011^2$
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🔮oráculo y magia negra🔮
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drynshock

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Re: Provincial 2023 N2 P1

Mensaje sin leer por drynshock »

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La cantidad de divisores positivos de un numero $n = p_1^{\alpha_1}.p_2^{\alpha_2}\dots$ la podemos calcular con la siguiente formula:

$$d_n = (\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1)\dots$$

Entonces, considerando que el numero tiene una cantidad impar de divisores, entonces cada uno de los paréntesis $(\alpha_i + 1)$ tiene que ser impar. Para que esto ocurra, cada $\alpha_i$ tiene que ser par. Entonces, como $\alpha_i$ eran los exponentes de los factores primos de $n$, entonces si cada uno de ellos es par, entonces $n$ tiene que ser un cuadrado perfecto! De igual manera, $n + 2023$ también ha de serlo. Entonces ahora podemos decir que para dos números $a, b \in \mathbb Z^+$ se cumple que:

$$n = a^2$$
$$n + 2023 = b^2$$

En otras palabras:

$$a^2 + 2023 = b^2 \Rightarrow 2023 = (b-a)(b+a)$$

Entonces, $b-a$ es un divisor de $2023$ y $b+a$ también lo es. Por lo tanto, lo que podemos hacer ahora es descomponer a $2023$ como $d_1.d_2 = 2023$, con $d_1 \leq d_2$ de tal manera que:

$$b-a = d_1$$
$$b+a = d_2$$

Es fácil ver que si despejamos $a$ y $b$ obtenemos:

$$\boxed{a = \frac{d_2 - d_1}{2}}$$
$$\boxed{b = \frac{d_1 + d_2}{2}}$$

Recordemos que $d_1.d_2 = 2023 \Rightarrow d_2 = \frac{2023}{d_1}$. Si reemplazamos en $a$ obtenemos $a = \frac{\frac{2023}{d_1} - d_1}{2} \Rightarrow a = \frac{2023-d_1^2}{2d_1}$. Ahora es cuestión de ver los divisores de $2023$ y reemplazarlos en $d_1$. Los divisores de $2023$ son $1, 7, 17, 7.17, 17^2, 7.17^2$.

Si $d_1 = 1$
$a = \frac{2023-1^2}{2.1}$
$a = 1011$

Si $d_1 = 7$
$a = \frac{2023-7^2}{2.7}$
$a = 141$

Si $d_1 = 17$
$a = \frac{2023-17^2}{2.17}$
$a = 51$

Si $d_1 = 7.17$
$a = \frac{2023-(7.17)^2}{2.7.17}$
$a = -51$

A partir de ahora todos los numeros van a ser negativos asi que no nos sirven. Si igualamos $n = a^2$ obtenemos:

Si $a = 1011$
$n = 1011^2 \Rightarrow n + 2023 = 1024144 = 2^4.11^2.23^2$

Cumple.

Si $a = 141$
$n = 141^2 \Rightarrow n + 2023 = 21904 = 2^4.37^2$

Cumple.

Si $a = 51$
$n = 51^2 \Rightarrow n + 2023 = 4624 = 2^4.17^2$

Cumple.

Concluimos que los valores de $n$ que satisfacen las condiciones del problema son:

$$n \in \{51^2, 141^2, 1011^2\}$$
@Bauti.md ig
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"Alexandra Trusova"
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