Hallar todos los enteros positivos $n$ para los que $n$ tiene una cantidad impar de divisores y $n+2023$ también tiene una cantidad impar de divisores positivos
Aclaración: Si $k$ es un entero, entre sus divisores positivos se encuentra $1$ y $k$.
Sea $n=p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2}\cdot\ldots \cdotp_k^{e_k}$ la factorización en primos de $n$, con $p_h$ primo. La cantidad de divisores de $n$ es $(e_1+1)\cdot(e_2+1)\cdot \ldots\cdot(e_k+1)$, y se tiene que $(e_1+1)\cdot(e_2+1)\cdot\ldots\cdot(e_k+1)\equiv 1\pmod2$, de modo que $e_i+1\equiv 1\pmod2\implies e_i\equiv 0\pmod2$ para todo $1\leq i\leq k$ y entero. Con lo cual $e_i=2t_i$. Por lo tanto, sustituyendo en la factorización en primos de $n$ se obtiene $n=p_1^{2t_1}\cdot p_2^{2t_2}\cdot\ldots \cdotp_k^{2t_k}=(p_1^{t_1}\cdot p_2^{t_2}\cdot\ldots\cdot p_k^{t_k})^2=a^2$, con $a$ entero positivo.
De manera análoga, $n+2023=b^2$ (con $b$ entero positivo), entonces $n=b^2-2023$
Luego, igualando queda que $a^2=b^2-2023$, de donde $2023=b^2-a^2=(b+a)(b-a)$. Los divisores de $2023$ son $D_{2023}=\{1; 7; 17; 119;289; 2023\}$, con lo que multiplicando las parejas correspondientes de divisores se obtendrá $2023$
Como $a$ y $b$ son enteros positivos, ocurre que $b+a>b-a$.
Luego los posibles casos son
La cantidad de divisores positivos de un numero $n = p_1^{\alpha_1}.p_2^{\alpha_2}\dots$ la podemos calcular con la siguiente formula:
$$d_n = (\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1)\dots$$
Entonces, considerando que el numero tiene una cantidad impar de divisores, entonces cada uno de los paréntesis $(\alpha_i + 1)$ tiene que ser impar. Para que esto ocurra, cada $\alpha_i$ tiene que ser par. Entonces, como $\alpha_i$ eran los exponentes de los factores primos de $n$, entonces si cada uno de ellos es par, entonces $n$ tiene que ser un cuadrado perfecto! De igual manera, $n + 2023$ también ha de serlo. Entonces ahora podemos decir que para dos números $a, b \in \mathbb Z^+$ se cumple que:
Entonces, $b-a$ es un divisor de $2023$ y $b+a$ también lo es. Por lo tanto, lo que podemos hacer ahora es descomponer a $2023$ como $d_1.d_2 = 2023$, con $d_1 \leq d_2$ de tal manera que:
$$b-a = d_1$$
$$b+a = d_2$$
Es fácil ver que si despejamos $a$ y $b$ obtenemos:
Recordemos que $d_1.d_2 = 2023 \Rightarrow d_2 = \frac{2023}{d_1}$. Si reemplazamos en $a$ obtenemos $a = \frac{\frac{2023}{d_1} - d_1}{2} \Rightarrow a = \frac{2023-d_1^2}{2d_1}$. Ahora es cuestión de ver los divisores de $2023$ y reemplazarlos en $d_1$. Los divisores de $2023$ son $1, 7, 17, 7.17, 17^2, 7.17^2$.
Si $d_1 = 1$
$a = \frac{2023-1^2}{2.1}$
$a = 1011$
Si $d_1 = 7$
$a = \frac{2023-7^2}{2.7}$
$a = 141$
Si $d_1 = 17$
$a = \frac{2023-17^2}{2.17}$
$a = 51$
Si $d_1 = 7.17$
$a = \frac{2023-(7.17)^2}{2.7.17}$
$a = -51$
A partir de ahora todos los numeros van a ser negativos asi que no nos sirven. Si igualamos $n = a^2$ obtenemos:
Si $a = 1011$
$n = 1011^2 \Rightarrow n + 2023 = 1024144 = 2^4.11^2.23^2$
Cumple.
Si $a = 141$
$n = 141^2 \Rightarrow n + 2023 = 21904 = 2^4.37^2$
Cumple.
Si $a = 51$
$n = 51^2 \Rightarrow n + 2023 = 4624 = 2^4.17^2$
Cumple.
Concluimos que los valores de $n$ que satisfacen las condiciones del problema son:
Por teorema fundamental de la aritmética
$$k=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_i^{\alpha_i}$$
Donde $p_m$ es un numero primo y $\alpha_m$ es un entero positivo.
Sabemos que la cantidad de divisores positivos de $k$
$$(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)…(\alpha_i+1)$$
Sabemos que este producto es impar, y para que esto suceda todos los factores tienen que ser impares. Entonces
$$\alpha_m+1\equiv 1(mod\:2)$$
Para todo $m$ entero tal que $m\in [1;i]$
Donde resulta $$\alpha_m\equiv 0(mod\:2)$$
Entonces, las potencias de todos los primos de la factorizacion de $k$ son pares. Por lo que $k$ tiene que ser un cuadrado perfecto
Entonces $n$ y $n+2023$ son cuadrados perfectos. Por lo que podemos expresar
$$n=a^2$$
$$n+2023=b^2$$
Para algunos $a$ y $b$ enteros positivos
Restando ambas expresiones llegamos a que
$$b^2-a^2=2023\Rightarrow (b-a)(b+a)=7\times 17^2$$
Es claro que, al ser $a$ y $b$ positivos, $b+a>b-a$
Lo que nos deja con tres opciones
$$b+a=7\times 17=119, b-a=17$$
$$b+a=17^2=289, b-a=7$$
$$b+a=7\times 17^2=2023, b-a=1$$
De donde llegamos a los siguientes resultados
$$a=51, b=68$$
$$a=141, b=148$$
$$ a=1011, b=1012$$
O sea que los valores que puede tomar $n$ son
$$n=51^2=2601$$
$$n=141^2=19881$$
$$n=1011^2=1022121$$
Que si los probamos con los resultados que nos dio $n+2023=b^2$ podemos ver que los tres cumplen, entonces las soluciones son
$$\{2601; 19881; 1022121\}$$
