FOFO 13 Años - Problema 7

[Fedex]

Un pentágono tiene una circunferencia circunscrita y una circunferencia inscrita. Demostrar que existen dos circunferencias tales que el incentro del triángulo formado por cualesquiera tres vértices del pentágono pertenece a una de estas dos circunferencias.

[Fedex]

Aquí publicaremos la solución oficial.

[drynshock]

No estoy seguro de haber entendido bien la consigna, sin embargo, acá dejo mi solución: La segunda imagen es la demostración de que si un pentágono tiene un circulo circunscrito y otro inscrito, el pentágono debe ser regular. La primera imagen es la solución al problema.

Spoiler: mostrar

Problema 7, Drynshock, (Bautista Machillari).png

Problema 7 parte 2, Drynshock, (Bautista Machillari).png

[Gianni De Rico]

Mafalda ❤️.jpg

Spoiler: mostrar

Sea $I$ el incentro de $ABCDE$. Sean $M_A,M_B,M_C,M_D,M_E$ los puntos donde las rectas $AI,BI,CI,DI,EI$, respectivamente, cortan a la circunferencia circunscrita de $ABCDE$. Sean $A_1,B_1,C_1,D_1,E_1$ los incentros de $ABC,BCD,CDE,DEA,EAD$, respectivamente. Sean $N_A,N_B,N_C,N_D,N_E$ los puntos donde las bisectrices de $\angle CAD,\angle DBE,\angle ECA,\angle ADB,\angle BEC$, respectivamente, cortan a la circunferencia circunscrita de $ABCDE$.
Tenemos que $A,A_1,I,M_A$ están alineados y lo mismo con las demás cuaternas (no son armónicas esta vez ) que se obtienen al cambiar $A$ por cada uno de los vértices del pentágono $ABCDE$. Tenemos también que $N_AC_1=N_AC=N_AD=N_AD_1$, con lo que $C_1CDD_1$ es cíclico, y análogamente se tiene que $D_1DEE_1$, $E_1EAA_1$, $A_1ABB_1$ y $B_1BCC_1$ son cíclicos. Entonces por Potencia de un Punto tenemos que\begin{align*}IA_1\cdot IA & =IB_1\cdot IB \\
& =IC_1\cdot IC \\
& =ID_1\cdot ID \\
& =IE_1\cdot IE,
\end{align*}con lo que invirtiendo por $I$ con radio $\sqrt{IA_1\cdot IA}$ tenemos que $ABCDE$ va a $A_1B_1C_1D_1E_1$, con lo que $A_1B_1C_1D_1E_1$ es cíclico.

Ahora, por el Porismo de Poncelet (primera vez que puedo usar esto en una demostración), tenemos que el pentagrama $ACEBD$ también es bicéntrico, con lo que aplicando el mismo argumento pero con los puntos $M$ en vez de los $N$ y con los incentros de los $5$ triángulos restantes tenemos que el pentágono formado por estos $5$ incentros también es cíclico.

Las circunferencias circunscritas de estos dos pentágonos son las pedidas por el enunciado.



El dibujo está medio pegoteado, pero espero que deje claro que el pentágono no tiene por qué ser regular.

Pentagrama.jpg