Hallar todos los polinomios no constantes$$x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$$con coeficientes enteros con raíces $a_0,a_1,\ldots ,a_{n-1}$ (contadas con multiplicidad).
$P(x) \Leftrightarrow P′(x)=x.P(x)$, a menos que $P(x)$ sea constante. Ya que es sumar uno a la multiplicidad del $0$ y sumar un coeficiente $0$.
Si es constante y con coeficiente principal $1$.
$P(x)=1\Rightarrow P′(x)=x$ y funcionan todos los polinomios $P(x)=x^n$ con $n>0$
Ahora asumamos que $a_0\neq 0$, y las soluciones van a ser esos polinomios por $x^m$
Igualando la forma polinómica a la factorizada
$x^n+a_{n−1}x^{n−1}+⋯+a_1x+a_0=(x−a_{n−1})...(x−a_0)$
El coeficiente independiente es
$a_0=(−a_0).(−a_1)...(−a_{n−1})⇒\pm 1=a_1.a_2...a_{n−1}$
Y como son enteros, son todos $\pm 1$
$x^n\pm x^{n−1}\pm ⋯\pm x+a_0=(x−a_0).(x\pm 1)...(x\pm 1)$
Reemplazando $x=a_0$
$a_0^n\pm a_0^{n−1}\pm ⋯\pm a_0+a_0=0\Rightarrow |a_0|^n\leq |a_0|^{n−1}+...+|a_0|+|a_0|$
Supongamos que $|a_0|\neq 1\Rightarrow |a_0|≥2$
$|a_0|^n\leq |a_0|.\frac{|a_0|^{n−1}−1}{|a_0|−1}+|a_0|$
$|a_0|^{n−1}−1\leq \frac{|a_0|^{n−1}−1}{|a_0|−1}\Rightarrow |a_0|−1≤1\Rightarrow |a_0|≤2⇒|a_0|=2$
Si $a_0=2$
$2^n\pm 2^{n−1}\pm ⋯\pm 2+2=0\Rightarrow 2^n+2\leq 2^{n−1}+⋯+2=2^n-2$
Absurdo, no hay polinomios que cumplan.
Si $a_0=−2$
$(−2)^n\pm (−2)^{n−1}\pm⋯\pm (−2)+(−2)=0$, que solo se cumple si $(−2)^n$ está sumando y todos los demás términos restando, ya que $2^n=(2^{n−1}+...+2^2+2)+2$ y en cualquier otros caso quedan algunos términos restando y es menor que $2^n$
Por lo que $n=2k$ y los coeficientes están definidos para que en $(−2)^{2k}\pm (−2)^{2k−1}\pm ⋯\pm (−2)+(−2)=0$, todos los términos estén restando menos $2^n$
El polinomio debe ser
$x^{2k}+x^{2k−1}−x^{2k−2}+x^{2k−3}−...+x−2$ si $k>1$, hay un coeficiente $−1$ por lo que es raíz
$1+(−1)−1+(−1)−...+(−1)−2=0$ absurdo
Luego $k=1$
$P(x)=x^2+x−2=(x+2)(x−1)$ funciona porque sus raíces son $\{−2;1\}$
Si $a_0=\pm 1$
$x^n\pm x^{n−1}\pm ...\pm x\pm 1=(x−1)^b.(x+1)^{n−b}$
Donde hay $b$ coeficientes $1$ y $n−b$ coeficientes $−1$, sacando el principal
Si $b=0$, $(x+1)^n=x^n−x^{n−1}−...−1$ absurdo
Si $b\geq 0$
Reemplazando $x=1$
$b+1−(n−b)=0⇒b=\frac{n−1}{2}\Rightarrow x^n\pm x^{n−1}\pm ...\pm x\pm 1=(x−1)^{\frac{n−1}{2}}.(x+1)^{\frac{n−1}{2}}.(x+1)=(x^2−1)^{\frac{n−1}{2}}.(x+1)$
Igualdando los coeficientes de $x^{n−2}$
$\pm 1=−\frac{n−1}{2}\Rightarrow \frac{n−1}{2}=1\Rightarrow P(x)=(x^2−1).(x+1)=x^3+x^2−x−1$ sus raíces son $\{−1;−1;2\}$
Por lo que todos los polinomios con $a_0\neq 0$ que funcionan son
$P(x)=x^2+x−2$
$P(x)=x^3+x^2−x−1$
Por lo que los que funcionan son
$P(x)=x^{k+1}$
$P(x)=x^{k+2}+x^{k+1}−2.x^k$
$P(x)=x^{k+3}+x^{k+2}−x^{k+1}−x^k$
Con $k$ entero mayor o igual a $0$
