FOFO 13 Años - Problema 3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Joacoini

OFO - Medalla de Plata-OFO 2018 FOFO 8 años - Medalla Especial-FOFO 8 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Medalla Especial-FOFO 9 años
OFO - Medalla de Oro-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Copa-FOFO Pascua 2020 FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años
OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años
OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 466
Registrado: Jue 12 Oct, 2017 10:17 pm
Medallas: 16
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Ciudad Gotica

FOFO 13 Años - Problema 3

Mensaje sin leer por Joacoini »

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y escaleno. Sea $M$ el punto medio del lado $BC$ y sea $D$ el punto del lado $AB$ que cumple que $MD$ es perpendicular a $AB$. El punto $K$ está en el lado $AB$ y cumple que $BD=DK$ y $DM=AK$. El punto $P$ está en el interior del triángulo $ABC$ y cumple que $KP=BD$ y $KP$ es perpendicular a $AB$. Demostrar que $BP$ es perpendicular a $CA$.
NO HAY ANÁLISIS.
Avatar de Usuario
Joacoini

OFO - Medalla de Plata-OFO 2018 FOFO 8 años - Medalla Especial-FOFO 8 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Medalla Especial-FOFO 9 años
OFO - Medalla de Oro-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Copa-FOFO Pascua 2020 FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años
OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años
OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 466
Registrado: Jue 12 Oct, 2017 10:17 pm
Medallas: 16
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Ciudad Gotica

Re: FOFO 13 Años - Problema 3

Mensaje sin leer por Joacoini »

Aquí publicaremos la solución oficial.
NO HAY ANÁLISIS.
alexgsi

OFO - Medalla de Plata-OFO 2024
Mensajes: 4
Registrado: Mar 14 Feb, 2023 10:38 am
Medallas: 1
Nivel: Otro

Re: FOFO 13 Años - Problema 3

Mensaje sin leer por alexgsi »

Spoiler: mostrar
Tenemos que $MK =MB$ ya que $\triangle MKB$ es isósceles (porque $KD = BD$ y $DM \perp KB$). Como $MB = MK = MC$, la circunferencia $(CBK)$ tiene diametro $BC$.
Como $90 = \angle BKC = \angle BKP$ tenemos $K, P, C$ colineales. Por tales tenemos $KC = 2DM$.
Nos fijamos en $\triangle AKP$ y $\triangle CKB$. Como tienen dos lados en proporción $2$ ($AK$ con $CK$ y $KP$ con $KB$) y el ángulo que se forma por los lados es $90$ en ambos, estos triangulos son semejantes. Sea $AP \cap BC = Z$.
Tenemos $\angle ABC = 90 - \angle KCB = \angle KAP = \angle BAZ$ $\implies AP \perp BC$. Como $AP \perp BC$ y $CP \perp AB$, $P$ es el ortocentro
de $\triangle ABC \implies BP \perp AC$.
Spoiler: mostrar
Imagen
Avatar de Usuario
drynshock

FOFO 13 años - Mención-FOFO 13 años OFO - Medalla de Bronce-OFO 2024 FOFO Pascua 2024 - Copa-FOFO Pascua 2024
Mensajes: 698
Registrado: Sab 21 May, 2022 12:41 pm
Medallas: 3
Nivel: 3
Contactar:

Re: FOFO 13 Años - Problema 3

Mensaje sin leer por drynshock »

La solución la hice en word así que adjunto la imagen.
Spoiler: mostrar
Problema 3, Drynshock, (Bautista Machillari).png
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
@Bauti.md ig
Math: Mental Abuse To Human
Responder