FOFO 13 Años - Problema 2

[Fran5]

El dueño de la casa embrujada está decidiendo a qué $66$ monstruos pondrá para asustar a sus clientes. Tiene una momia, cuatro esqueletos, $666$ zombies y $666$ hombres lobo. El único requerimiento es que haya una cantidad par de zombies y una cantidad múltiplo de $5$ de hombres lobo. El disfraz del dueño no le permite ver muy bien, de modo que dos monstruos del mismo tipo le resultan indistinguibles entre sí, por lo que sólo le importa la cantidad de monstruos de cada tipo que va a usar. Determinar cuántas formas tiene el dueño de elegir los $66$ monstruos.

[Fran5]

Aquí publicaremos la solución oficial.

[drynshock]

La solución la hice en word así que adjunto la imagen.:

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Problema 2, Drynshock, (Bautista Machillari).png

[riquelme10xd]

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Para resolver este problema haremos algo. Pensemos que la suma de todos los monstruos debe ser de 66. Nos fijaremos en como se pueden elegir los esqueletos y las momias. Luego, sumaremos en cada caso cuanto suman estos dos, y, consecuentemente, cuanto deberán sumar los zombies y hombres lobo, y de ahí partiremos para resolver el ejercicio.

hay 5 resultados diferentes para las sumas entre momias y esqueletos y 10 maneras diferentes en las que estos pueden aparecer (los términos están ordenados como en el enunciado, primero momia, luego esqueletos). Al lado de cada caso colocamos cuanto deben sumar los zombies + hombres lobo. Esto se logra restando el resultado de cada caso a 66.

1+4 = 5 $ \rightarrow $ 66 - 5 = 61
1+3 = 4 $ \rightarrow $ 66 - 4 = 62
1+2 = 3 $ \rightarrow $ 66 - 3 = 63
1+1 = 2 $ \rightarrow $ 66 - 2 = 64
1+0 = 1 $ \rightarrow $ 66 - 1 = 65
0+4 = 4 $ \rightarrow $ 66 - 4 = 62
0+3 = 3 $ \rightarrow $ 66 - 3 = 63
0+2 = 2 $ \rightarrow $ 66 - 2 = 64
0+1 = 1 $ \rightarrow $ 66 - 1 = 65
0+0 = 0 $ \rightarrow $ 66 - 0 = 66

Para cada resultado diferente, veremos las maneras de elegir los zombies y hombres lobos utilizando congruencia.

Caso 1: 1+4 = 5 $ \rightarrow $ 66 - 5 = 61
Como dijimos antes los zombies + los hombres lobo deben sumar la diferencia entre momias y esqueletos que en este caso es 61.
61 tiene resto 1 en la división por 2. Al sumar 2 números sumas sus restos por esta propiedad:
Si a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m), entonces a + c ≡ b + d (mod m).
Al tener si o si un número par por los zombies, nos obliga que la cantidad de hombres lobos, que es múltiplo de 5, tenga resto 1 en la división por 2. Quedaría así:
0 + 1 ≡ 1 (mod 2)
0 es el resto de cualquier par, y 1 es el resto que debe tener en este caso obligatoriamente el número múltiplo de 5 que es la cantidad de hombres lobo.
Esta congruencia se debe dar ya que nos permitirá averiguar qué cantidades pueden ir en cada caso. Los únicos múltiplos de 5 con resto 1 en la división por 2 son los terminados en 5.
Es decir, hay 6 múltiplos de 5 terminados en 5 entre 0 y 61, y para cada uno habrá una cantidad par de zombies que
pueda dar el resultado 61, entonces en este caso hay 6 posibilidades.

Caso 2: 1+3 = 4 $ \rightarrow $ 66 - 4 = 62
62 tiene resto 0 en la división por 2. Al sumar 2 números sumas sus restos por la propiedad ya dicha anteriormente.
Al tener si o si un número par por los zombies, nos obliga que la cantidad de hombres lobos, que es múltiplo de 5, tenga resto 0 en la división por 2. Quedaría así:
0 + 0 ≡ 0 (mod 2)
0 es el resto de cualquier par, y el otro 0 del segundo término es el resto que debe tener en este caso obligatoriamente el número múltiplo de 5 que es la cantidad de hombres lobo.
Esta congruencia se debe dar ya que nos permitirá averiguar qué cantidades pueden ir en cada caso. Los únicos múltiplos de 5 con resto 0 en la división por 2 son los terminados en 0.
Entonces, hay 7 múltiplos de 5 terminados en 0 entre 0 y 62, y para cada uno habrá una cantidad par de zombies que pueda dar el resultado de 62, entonces en este caso hay 7 posibilidades.

Acá nos damos cuenta de algo, y es si la diferencia entre 66 y la cantidad de momias y esqueletos es impar, se dará el primer caso y habrá 6 posibilidades. Esto porque el resto en la división por 2 siempre es 1 en cualquier impar. Y si la diferencia entre 66 y la cantidad de momias y esqueletos es impar, se dará el segundo caso y habrá 7 posibilidades. Esto porque el resto en la división por 2 siempre es 0 en cualquier par.

En el único caso en que esto cambia es en este: 1+0 = 1 $ \rightarrow $ 66 - 1 = 65
Lo que pasa acá es que los múltiplos de 5 deben terminar en 5, y podemos agregar el 65 como uno de ellos, cosa que antes no podíamos porque la diferencia era < 65. Entonces se agrega una posibilidad y son 7 posibilidades.
Entonces, como ya dijimos, si la diferencia entre 66 y la cantidad de momias y esqueletos es impar, hay 6 posibilidades salvo en el caso de que sea 65, que son 7. Entonces tenemos 4 casos de 6 posibilidades y 1 de 7. (Los 10 casos fueron contados al principio del problema). Y si la diferencia entre 66 y la cantidad de momias y esqueletos es par, hay 7 posibilidades.
Sumando todo tenemos 6.4 + 7.6 = 66 formas que tiene el dueño de elegir los 66 monstruos.
Que coincidencia ese resultado

[Tiziano Brunelli]

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Como en total el dueño tiene $5$ monstruos que no son ni zombies ni (el símbolo "" se lee "hombre lobo" u "hombres lobos" según el contexto auuuuuuu). Por lo que hay 6 casos: 66 monstruos son zombies u , 65 monstruos son zombies u , 64 monstruos son zombies u , 63 monstruos son zombies u , 62 monstruos son zombies u o 61 monstruos son zombies u .
A los monstruos que no son ni zombies ni les diremos sobrantes.

• En el primer caso tenemos que la cantidad de zombies y suman un número par, como la cantidad de zombies es un número par, entonces la cantidad de también es un número par, y, como también es múltiplo de $5$, entonces la cantidad de es múltiplo de 10. Entonces en este caso pueden haber desde $0$ hasta $60$ , pasando solo por los múltiplos de $10$ , por ende hay $7$ posibilidades en este caso.

• En el segundo caso: como la cantidad de zombies y es impar y la cantidad de zombies es par, entonces la cantidad de es múltiplo de $5$ e impar, y va desde $5$ hasta $65$, por lo que hay $7$ posibles cantidades de (estas son: $5,15,25,35,45,55$ y $65$, en este último habrían $0$ zombies pero esa cantidad es par así que cumple), pero el monstruo sobrante tiene dos posibilidades, por lo que hay $7*2=14$ posibilidades

• En el tercer y quinto caso (esto es, $64$ y $62$ monstruos no sobrantes respectivamente): análogamente al caso 1, en cada caso habrán $7$ posibilidades de (los múltiplos de $10$ no negativos menores o iguales que $60$), pero en cada caso entre dos y cuatro monstruos sobrantes, de los cuales, uno solo de ellos podría ser o no una momia (puesto que hay solo una momia) por lo que cada caso tiene $7*2=14$ posibilidades, los dos casos en conjunto tienen $28$.

• En el cuarto y sexto caso (esto es, $63$ y $61$ monstruos no sobrantes respectivamente): análogamente al segundo caso, tenemos que los son múltiplo de $5$ e impares, pero ahora no pueden ser $65$ porque la cota es menor a $65$, pero sí pueden hasta $55$, osea que tienen $6$ posibilidades, pero en el cuarto caso específicamente, como en los casos tercero y quinto, uno solo de los monstruos sobrantes puede o no ser momia, esto no pasa con el caso sexto porque están los $5$ monstruos sobrantes, por lo que uno de ellos sí o sí es momia, por ende el caso cuatro se multiplica por $2$, entre los dos casos habrían entonces $2*6+6=18$ posibilidades.

Entre todos los casos tendríamos $7+14+28+18=67$ posibilidades en total.

[drynshock]

jajajjaja las fotos ameritan puntos extra

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Como en total el dueño tiene $5$ monstruos que no son ni zombies ni (el símbolo "" se lee "hombre lobo" u "hombres lobos" según el contexto auuuuuuu). Por lo que hay 6 casos: 66 monstruos son zombies u , 65 monstruos son zombies u , 64 monstruos son zombies u , 63 monstruos son zombies u , 62 monstruos son zombies u o 61 monstruos son zombies u .
A los monstruos que no son ni zombies ni les diremos sobrantes.

• En el primer caso tenemos que la cantidad de zombies y suman un número par, como la cantidad de zombies es un número par, entonces la cantidad de también es un número par, y, como también es múltiplo de $5$, entonces la cantidad de es múltiplo de 10. Entonces en este caso pueden haber desde $0$ hasta $60$ , pasando solo por los múltiplos de $10$ , por ende hay $7$ posibilidades en este caso.

• En el segundo caso: como la cantidad de zombies y es impar y la cantidad de zombies es par, entonces la cantidad de es múltiplo de $5$ e impar, y va desde $5$ hasta $65$, por lo que hay $7$ posibles cantidades de (estas son: $5,15,25,35,45,55$ y $65$, en este último habrían $0$ zombies pero esa cantidad es par así que cumple), pero el monstruo sobrante tiene dos posibilidades, por lo que hay $7*2=14$ posibilidades

• En el tercer y quinto caso (esto es, $64$ y $62$ monstruos no sobrantes respectivamente): análogamente al caso 1, en cada caso habrán $7$ posibilidades de (los múltiplos de $10$ no negativos menores o iguales que $60$), pero en cada caso entre dos y cuatro monstruos sobrantes, de los cuales, uno solo de ellos podría ser o no una momia (puesto que hay solo una momia) por lo que cada caso tiene $7*2=14$ posibilidades, los dos casos en conjunto tienen $28$.

• En el cuarto y sexto caso (esto es, $63$ y $61$ monstruos no sobrantes respectivamente): análogamente al segundo caso, tenemos que los son múltiplo de $5$ e impares, pero ahora no pueden ser $65$ porque la cota es menor a $65$, pero sí pueden hasta $55$, osea que tienen $6$ posibilidades, pero en el cuarto caso específicamente, como en los casos tercero y quinto, uno solo de los monstruos sobrantes puede o no ser momia, esto no pasa con el caso sexto porque están los $5$ monstruos sobrantes, por lo que uno de ellos sí o sí es momia, por ende el caso cuatro se multiplica por $2$, entre los dos casos habrían entonces $2*6+6=18$ posibilidades.

Entre todos los casos tendríamos $7+14+28+18=67$ posibilidades en total.

[matig]

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Llamamos al número de momias $m$, al numero de esqueletos $e$, al numero de pares de zombies $z$ y al numero de grupos de $5$ hombres lobo $h$.
Tenemos entonces $e+m+2z+5h=66$.
Tomamos el caso de $e=m=0$, por lo que $2z+5h=66$. Hay tantas posibilidades como valores pares posibles de $h$ (ya que $2z$ y $66$ son pares), y como $\lfloor66\div5\rfloor=13$, hay $7$ posibilidades. (Le sumamos $1$ a $13$ para contar $h=0$ y lo dividimos por $2$ para contar solo los pares).
Si $e+m=1$, obtenemos el mismo resultado.
Notemos que $e+m\leq5$, por lo que para todo valor de $e+m>1$, el máximo valor de $h$ será siempre $12$. Debido a esto, si $e+m$ es impar y nos vemos forzados a que $h$ sea impar, tendremos $6$ posibilidades. En el caso de que $e+m$ es par y por tanto $h$ par, tenemos $7$ posibilidades.
Como tenemos $2\times5$ posibles valores de $e$ y $m$, con la mitad de los $e+m$ par y la mitad impar, tenemos entonces $5\times7+5\times6$ posibilidades. Sin embargo, en dicha suma contamos los pares $e=0, m=0$; $e=1,m=0$ y $e=0, m=1$, que consideramos mas arriba y dan otro resultado, por lo que debemos restarle $7+2\times6$ y nos queda en $46$.
Si sumamos todos los casos, tenemos $46+7\times3=67$ formas que tiene el dueño de elegir los monstruos.