Se tienen los enteros positivos del $1$ al $999$ escritos en un pizarrón. Drácula cuenta los números escritos cuyo cuadrado perfecto más cercano es impar, y Nosferatu cuenta los números escritos cuyo cuadrado perfecto más cercano es par. ¿Cuál de los dos vampiros contó más números?
Aclaración: Un cuadrado perfecto es un número de la forma $n^2$, donde $n$ es un número entero. Los primeros cuatro cuadrados perfectos son $0=0^2$, $1=1^2$, $4=2^2$ y $9=3^2$.
Aclaraciones:
X puede ser cualquier cuadrado perfecto y los n de un X son los números cuyo cuadrado perfecto mas cercano es ese X.
Cuadrado perfecto se abrevia a cuadrado.
Primero hacemos la lista de todos los cuadrados perfectos hasta el 1024. Elegimos este último inclusive por que puede haber números menores de 1000 cuyo cuadrado perfecto mas cercano sea este último.
A simple vista notamos que hasta el 999 hay 16 cuadrados impares y 15 cuadrados pares sin contar a 1024. Ahora haremos la lista de los números mas cercanos a los primeros cuadrados perfectos, esto con el objetivo de encontrar un patrón que nos sirva para hallar la cantidad de números cuyo cuadrado perfecto más cercano es impar y los números cuyo cuadrado perfecto más cercano es par.
primeros impares:
1 = del 1 al 2 $ \rightarrow $ 2 n
9 = del 7 al 12 $ \rightarrow $ 6 n
25 = 21 al 30 $ \rightarrow $ 10 n
49 = del 43 al 56 $ \rightarrow $ 14 n
primeros pares:
4 = del 3 al 6 $ \rightarrow $ 4 n
16 = del 13 al 20 $ \rightarrow $ 8 n
36 = 31 al 42 $ \rightarrow $ 12 n
64 = del 57 al 72 $ \rightarrow $ 16 n
Acá deducimos varias cosas. Primero, en cada caso (par o impar) la cantidad de n cuyo cuadrado mas cercano es par o impar va aumentando progresivamente de a 4. En caso de los impares empieza desde 2 n y en caso de los pares desde 4 n. (Me refiero que en caso de impares en el 1 hay 2 números, luego en el 9 hay 6, etc y es una progresión la cual aumenta de a 4 n. Lo mismo pasa con los pares empezando de 4).
Además, como son números chicos se nos es fácil encontrar que números hay en cada caso, pero, debemos averiguar que cantidad de n tiene 961, y si algún n ≤ 999 tiene a 1024 como cuadrado mas cercano.
Esto, ¿Por qué? podríamos simplemente hacer la suma aritmética de los primeros 16 impares como 2 + 6 + 10 etc,16 veces y lo mismo con los pares 15 veces y comparar. Pero no sabemos en el caso 16 de los impares, (961), si algunos de sus n son > a 999 (si esto pasara no deben ser contados), y si hay un caso 16 de los pares > a 999, (1024), que tenga números ≤ a 999. (cuando digo que x tiene números me refiero a la cantidad de n cuyo cuadrado mas cercano es x). Estas anomalías pueden cambiar el resultado y debemos encontrarlas para realizar bien el cálculo final.
Entonces, averigüemos cuantos n tiene el último cuadrado de los impares, el 16, es decir 961. Si el mayor de estos es ≤ a 999, entonces los n restantes entre el mayor n de 961 y 999 inclusive se deben sumar a los pares, es decir a los n de 1024. En caso de que el mayor n de 961 sea > a 999, todos los mayores a 999 deben ser restados a los números de 961 y consecuentemente a lo de los impares en su suma aritmética.
Para hacer esto, descubrí una fórmula examinando los casos mas chicos, que nos sirve para averiguar el menor n de CUALQUIER x y otra para averiguar el mayor n de CUALQUIER x (recordemos que los números de x son los números cuyos cuadrados mas cercanos son x)
Menor N de x = x − $\sqrt{x}$ + 1
Ej
Menor N de 4 = 4 − 2 + 1 = 3
Menor N de 49 = 49 − 7 + 1 = 43
y
Mayor N de x = x + $\sqrt{x}$
Ej
Mayor N de 9 = 9 + 3 = 12
Mayor N de 64 = 64 + 8 = 72
Según se ve esto se cumple siempre, así que podemos hacer lo mismo con 961
Mayor N de 961 = 961 + 31 = 992
Como 992 es menor a 1000, los 7 n de 993 a 999 serán mas cercanos a 1024 y los sumaremos a los pares.
Entonces, podemos usar la fórmula para la suma de n términos de progresiones aritméticas para cada progresión aritmética, y en caso de los pares, además, les sumamos los 7 n de 993 a 999.
La fórmula para la suma de n términos de progresiones aritméticas es
$\frac{($x_1$+$x_y$) y}{2}$
ignore los símbolos de dólar, no se como quitarlos pero la fórmula es sin esos símbolos por supuesto
$x_1$ es la cantidad de n del primer cuadrado de cada progresión y $x_y$ es la cantidad de n del último término, siendo y, el número de término de la progresión del último cuadrado menor a 1000
Para averiguar la cantidad de n del último término de los impares (961) y la de los pares menores de 1000 (900) podemos usar la formulita que es para averiguar la cantidad de n de x. No averiguamos la cantidad de n de 1024 porque ya sabemos que es 7 así que utilizamos a 900 como el último cuadrado de los pares.
En caso de los impares es:
2 + 4. (R−1)
y en los pares es
4 + 4. (R−1)
El primer término es la primer cantidad de n en el primer x en cada caso. R es el número de cuadrado perfecto par o impar en cada progresión. Es decir, 1 es el primero, 9 el segundo, 25 el tercero, etc e igual con los pares.
En caso de 961:
2 + 4. (16−1) = 62 n
En caso de 900
4 + 4. (15−1) = 60 n
Ya tenemos los datos, ahora reemplazamos y calculamos en cada caso
En caso de los impares es:
$\frac{(2 + 62) 16 }{2}$ = 512
pares:
$\frac{(4 + 60) 15 }{2}$ + 7 = 487
Entonces hay mas números cuyo cuadrado perfecto mas cercano es impar.
Algo para verificar que casi seguro que está bien es que, entre los dos casos se deben contar 999 números, ya que así lo dicta el enunciado, y si sumamos los pares y los impares del resultado final: 487 + 512 = 999
Drácula, que contaba los n cuyo cuadrado mas cercano eran impares, contó mas números.
pero la fórmula es sin esos símbolos por supuesto 