Diremos que un conjunto de enteros positivos distintos, que tiene por lo menos dos enteros positivos, es centenario si el mayor de los números es $100$. El promedio de un conjunto centenario es el promedio de sus números. Por ejemplo, el promedio del conjunto $\{1,2,20,100\}$ es
$\frac{123}{4}$ y el promedio del conjunto $\{74,90,100\}$ es $88$.
Determinar todos los números enteros que se pueden obtener como el promedio de un conjunto centenario.
Fijarse que el promedio mínimo de un conjunto centenario de N enteros positivos distintos es (100 + 1 + .. +(n - 1))/n que es igual a ( 100 + ((n-1)*n/2) ) / n, lo que es lo mismo a 100/n + (n-1)/2.
Este promedio mínimo es siempre mayor a 13 (se puede calcular manualmente hasta n=14 ,en donde n-1 = 13, y para n más grande los números que se van sumando son mayores a 13).
Por lo tanto, los números enteros promedios de conjuntos centenario que se pueden obtener son desde 14 hasta 99 (queda de ejercicio para el lector que no se puede mayor o igual a 100).
Cómo obtener los números:
de 51 a 99: {x, 100}, con x entre 2 y 98
de 35 a 50: {2, x, 100}, con x entre 3 y 48
de 27 a 34: {1, 2, x, 100}, con x entre 5 y 33
de 22 a 26: {1, 2, 3, x, 100}, con x entre 4 y 24
de 16 a 21: {1, 2, 3, 4, 5, 6, x, 100}, con x entre 7 y 47
de 14 a 15: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, x, 100}, con x entre 13 y 25
Dejo una forma divertida de demostrar el mínimo valor posible que puede tomar el promedio. Esta solución quizás tenga contenidos teóricos más elevados respecto a lo que debería aspirar un chico de Nivel 1, pero no quiero perder la oportunidad para reflejar el potencial de la propiedad que usaremos aquí.
Vamos a demostrar que el promedio no puede ser un entero menos de $14$.
Para ello supongamos que fijamos un número $n$ como la cantidad de números seleccionados (donde también incluimos elegir el $100$). Es muy fácil ver que la suma mínima de esos $n$ números es:
$$Suma_{min} = 100 + 1 + 2 + 3 + \dots + (n-2) + (n-1)$$
Por suma de Gauss:
$$Suma_{min} = 100 + \dfrac{(n-1)\cdot n}{2}$$
Como el menor promedio lo obtenemos minimizando la suma, el menor promedio posible para $n$ números será:
$$Promedio_{min} = \dfrac{100 + \dfrac{(n-1)\cdot n}{2}}{n}$$
Distribuyendo el cociente y despejando podemos obtenes la siguiente fórmula:
$$Promedio_{min} = \dfrac{100}{n} + \dfrac{n}{2} - \dfrac{1}{2}$$
Ahora bien, notemos que el promedio mínimo depende exclusivamente de $n$, la cantidad de números que seleccionamos. Nuestro objetivo ahora es encontrar aquel valor tal que no importa que $n$ elejimos, nunca podremos tener un promedio más bajo que eso. Es por eso que vamos a hacer uso de esta propiedad:
Propiedad 1: Sean $x$ e $y$ reales no negativos, entonces siempre la media aritmética de $x$ e $y$ será mayor o igual a su media geométrica.
$$\dfrac{x+y}{2} \geq \sqrt{x\cdot y}$$
Una desigualdad conocida como AM-GM que está muy bien explicada en este post: viewtopic.php?t=93
Podemos aplicar la Propiedad 1 en $\frac{100}{n} + \frac{n}{2}$ teniendo en cuenta que ambos términos son números reales no negativos y obtenemos:
Otra manera de encontrar una cota para el mínimo es partiendo de la fórmula
$$Promedio_{min} = \dfrac{100}{n} + \dfrac{n}{2} - \dfrac{1}{2}$$
y compararla para n y para (n+1) y en base a eso determinar para qué valores de n es mayor para n que para (n + 1) y para qué valores de n es mayor para (n + 1) que para n.
Monazo escribió: ↑Lun 20 Nov, 2023 10:34 pm
Dejo una forma divertida de demostrar el mínimo valor posible que puede tomar el promedio. Esta solución quizás tenga contenidos teóricos más elevados respecto a lo que debería aspirar un chico de Nivel 1, pero no quiero perder la oportunidad para reflejar el potencial de la propiedad que usaremos aquí.
Vamos a demostrar que el promedio no puede ser un entero menos de $14$.
Para ello supongamos que fijamos un número $n$ como la cantidad de números seleccionados (donde también incluimos elegir el $100$). Es muy fácil ver que la suma mínima de esos $n$ números es:
$$Suma_{min} = 100 + 1 + 2 + 3 + \dots + (n-2) + (n-1)$$
Por suma de Gauss:
$$Suma_{min} = 100 + \dfrac{(n-1)\cdot n}{2}$$
Como el menor promedio lo obtenemos minimizando la suma, el menor promedio posible para $n$ números será:
$$Promedio_{min} = \dfrac{100 + \dfrac{(n-1)\cdot n}{2}}{n}$$
Distribuyendo el cociente y despejando podemos obtenes la siguiente fórmula:
$$Promedio_{min} = \dfrac{100}{n} + \dfrac{n}{2} - \dfrac{1}{2}$$
Ahora bien, notemos que el promedio mínimo depende exclusivamente de $n$, la cantidad de números que seleccionamos. Nuestro objetivo ahora es encontrar aquel valor tal que no importa que $n$ elejimos, nunca podremos tener un promedio más bajo que eso. Es por eso que vamos a hacer uso de esta propiedad:
Propiedad 1: Sean $x$ e $y$ reales no negativos, entonces siempre la media aritmética de $x$ e $y$ será mayor o igual a su media geométrica.
$$\dfrac{x+y}{2} \geq \sqrt{x\cdot y}$$
Una desigualdad conocida como AM-GM que está muy bien explicada en este post: viewtopic.php?t=93
Podemos aplicar la Propiedad 1 en $\frac{100}{n} + \frac{n}{2}$ teniendo en cuenta que ambos términos son números reales no negativos y obtenemos:
Veamos que un conjunto centenario tiene promedio mínimo si y solo si es de la forma {$1,2,3,...,n-1,100$} (Aclaración: $n-1\leq 99$). Su promedio vendría a ser: $\frac{(\sum_{i=1}^{n-1}i)+100}{n}=\frac{\frac{n-1(n)}{2}+100}{n}=\frac{n-1}{2}+\frac{100}{n}$ . Aplicando el mismo procedimiento que Monazo:
$\frac{\frac{n}{2}+\frac{100}{n}}{2}\geq \sqrt{\frac{n}{2}(\frac{100}{n})}$ $\to$ $\frac{n}{2}+\frac{100}{n} \geq 14,14$. Consiguiendo el mínimo promedio o sea $14,14-\frac{1}{2}=13,64$ con esto demostramos que el promedio no es mayor a $14$. Luego demos un ejemplo de como conseguir todos los promedios. Dado el conjunto {$100,x$} podemos conseguir todos los valores desde $99$ hasta $51$. Dado el conjunto {$100,1,x$} podemos conseguir todos los valores desde $34$ hasta $66$.Dado el conjunto {$100,1,2,x$} podemos conseguir todos los valores desde $27$ hasta $50$. Dado el conjunto {$100,1,2,3,x$} podemos conseguir todos los valores desde $22$ hasta $41$. Dado el conjunto {$100,1,2,3,4,x$} podemos conseguir todos los valores desde $19$ hasta $36$.Dado el conjunto {$100,1,2,3,4,5,x$} podemos conseguir todos los valores desde $16$ hasta $30$.Dado el conjunto {$100,1,2,3,4,5,6,x$} podemos conseguir los valores desde $16$ hasta $27$,Dado el conjunto {$100,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,x$} podemos conseguir los valores desde $14$ hasta $20$. Listo ya justificamos y dimos ejemplo, problema resuelto.
@ulisess.kr