Nacional 2023 N2 P5

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Uriel J

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Nacional 2023 N2 P5

Mensaje sin leer por Uriel J »

Un paralelepípedo recto pintado de azul se corta en cubitos de $1 \times 1$. Hallar las posibles dimensiones, si la cantidad de cubitos sin caras azules es igual a un tercio de la cantidad total de cubitos.
ACLARACIÓN: Un paralelepípedo recto es un cuerpo de $6$ caras, todas ellas rectángulos (o cuadrados).
Nice bro, congratulations!
usuario250

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Re: Nacional 2023 N2 P5

Mensaje sin leer por usuario250 »

Se me ocurre solo por casos
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Sean x, y, z los lados del paralelepípedo, con x<=y<=z.
1) Si x es 1 o 2, entonces todos los cubitos tienen al menos una cara azul.
2) Para x >= 3, la cantidad de cubitos es xyz y la cantidad de cubitos sin caras azules es (x - 2)(y - 2)(z - 2).
3) Si x = 3, entonces la relación entre cubitos sin caras azules y cubitos totales es (1/3)*((y - 2)/y)*((z - 2)/z), que es menor a 1/3. Luego x>= 4.
4) Si x >= 7, entonces la relación entre cubitos sin caras azules y cubitos totales es mayor o igual que (5/7)^3, que es mayor a 1/3. Luego x<= 6.
5) Para cada valor de x entre 4 y 6, obtener la cota máxima de y, y para cada valor de y entre x y esa cota máxima ver si existe z.
Nico Celedón
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Re: Nacional 2023 N2 P5

Mensaje sin leer por Nico Celedón »

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Sean $a, b, c\in\mathbb{N}$ las dimensiones del paralelepípedo, por el enunciado tenemos: $$\frac{abc}{3} = (a-2)(b-2)(c-2)\Rightarrow 3 = \Big(\frac{a}{a-2}\Big)\Big(\frac{b}{b-2}\Big)\Big(\frac{c}{c-2}\Big)$$
Asumamos sin pérdida de generalidad, que $\big(\frac{a}{a-2}\big)\leq\big(\frac{b}{b-2}\big)\leq\big(\frac{c}{c-2}\big)$, entonces:
$$3\leq\Big(\frac{c}{c-2}\Big)^3\Rightarrow c\leq6$$
Notemos que $c\nleq3$ (esto último no es difícil de ver), por lo tanto solo hay 3 opciones para $abc = 3(a-2)(b-2)(c-2) = 3(c-2)(ab - 2a - 2b + 4)$:

Para $c=4:$
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$$4ab = 6ab - 12a - 12b + 24\Rightarrow ab - 6a -6b = -12\Rightarrow (a-6)(b-6) = 24$$
Usando los divisores positivos de $24$ y despejando como corresponde obtenemos como solución cuatro parejas $(a,b): (7,30), (8,18), (9,14), (10,12)$
Para $c=5:$
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$$5ab = 9ab - 18a - 18b + 36\Rightarrow 4ab - 18a -18b = -36\Rightarrow (2a-9)(2b-9) = 45$$
De la forma parecida, obtenemos como solución las parejas $(5,27), (6,12), (7,9)$
Para $c=6:$
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$$6ab = 12(ab - 2a - 2b +4)\Rightarrow ab - 4a - 4b = -8 \Rightarrow (a-4)(b-4) = 8$$
Las soluciones obtenidas son las parejas $(5,12), (6,8)$
Finalmente y omitiendo el único caso repetido, las posibles dimensiones $a, b, c$ del paralelepípedo son los tríos $(4,7,30), (4,8,18), (4,9,14), (4,10,12), (5,5,27), (5,6,12), (5,7,9), (6,6,8)$ y sus permutaciones en caso de ser necesario.
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