Nacional 2023 N2 P5

[Uriel J]

Un paralelepípedo recto pintado de azul se corta en cubitos de $1 \times 1$. Hallar las posibles dimensiones, si la cantidad de cubitos sin caras azules es igual a un tercio de la cantidad total de cubitos.
ACLARACIÓN: Un paralelepípedo recto es un cuerpo de $6$ caras, todas ellas rectángulos (o cuadrados).

[usuario250]

Se me ocurre solo por casos

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Sean x, y, z los lados del paralelepípedo, con x<=y<=z.
1) Si x es 1 o 2, entonces todos los cubitos tienen al menos una cara azul.
2) Para x >= 3, la cantidad de cubitos es xyz y la cantidad de cubitos sin caras azules es (x - 2)(y - 2)(z - 2).
3) Si x = 3, entonces la relación entre cubitos sin caras azules y cubitos totales es (1/3)*((y - 2)/y)*((z - 2)/z), que es menor a 1/3. Luego x>= 4.
4) Si x >= 7, entonces la relación entre cubitos sin caras azules y cubitos totales es mayor o igual que (5/7)^3, que es mayor a 1/3. Luego x<= 6.
5) Para cada valor de x entre 4 y 6, obtener la cota máxima de y, y para cada valor de y entre x y esa cota máxima ver si existe z.