Nivel 1 Problema 3 ¿¿Nacional 1993??

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
BrunZo

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2018 FOFO 8 años - Mención Especial-FOFO 8 años OFO - Medalla de Plata-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Medalla Especial-FOFO 9 años
OFO - Medalla de Oro-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Copa-FOFO Pascua 2020 FOFO 10 años - Copa-FOFO 10 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2021 FOFO 11 años - Medalla-FOFO 11 años
OFO - Medalla de Oro-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Medalla-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Medalla-FOFO 12 años OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años
OFO - Jurado-OFO 2024 FOFO Pascua 2024 - Jurado-FOFO Pascua 2024
Mensajes: 421
Registrado: Mar 21 Nov, 2017 8:12 pm
Medallas: 17
Nivel: 3

Nivel 1 Problema 3 ¿¿Nacional 1993??

Mensaje sin leer por BrunZo »

Con los dígitos $a$ y $b$ ($a\neq 0$ y $b\neq 0$) se forman los números$$x=a+\frac{a}{10}+\frac{a}{10^2}+\frac{a}{10^3}+\cdots +\frac{a}{10^n}+\cdots$$$$y=\frac{b}{10}+\frac{b}{10^2}+\frac{b}{10^3}+\cdots +\frac{b}{10^n}+\cdots$$Determinar todos los valores de los dígitos $a$ y $b$ que satisfacen que $\frac{x}{y}$ es un número natural mayor o igual que $40$.
Avatar de Usuario
drynshock

FOFO 13 años - Mención-FOFO 13 años OFO - Medalla de Bronce-OFO 2024 FOFO Pascua 2024 - Copa-FOFO Pascua 2024
Mensajes: 791
Registrado: Sab 21 May, 2022 12:41 pm
Medallas: 3
Nivel: 3
Contactar:

Re: Nivel 1 Problema 3 ¿¿Nacional 1993??

Mensaje sin leer por drynshock »

Spoiler: mostrar
Doy por entendido que la suma es infinita aunque nos mencione el termino $n$.

La suma de una serie infinita es $\frac{a}{1-r}$ siendo $r$ la razón de progresión, con $0 < r < 1$ y $a$ el primer termino de la progresión.

Demostración:
Spoiler: mostrar
Supongamos que tenemos la siguiente suma finita:
$$S = a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^n$$

Siendo $r$ la razón de progresión, $a \in \mathbb R$ y $n \in \mathbb Z$

Entonces multiplicando todo por $r$ obtenemos:

$$S.r = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \dots + ar^{n+1}$$

Si calculamos $S - S.r$ obtenemos:

$$S - S.r = a + ar + ar^2 + \dots ar^n - ar -ar^2 - \dots -ar^{n+1}$$
$$S(1-r) = a - ar^{n+1}$$
$$S = \frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}$$

Entonces veamos que cuando $r^{n+1}$ es muy muy chico, digamos que es prácticamente $0$, entonces nos queda $S = \frac{a(1-0)}{r-1} = \frac{a}{1-r}$ que era lo que buscábamos. Podemos ver que $r^{n+1}$ es cercano a cero, solo si $0 < r < 1$ y $n$ es lo suficientemente grande ya que multiplicar algo que esta entre $0$ y $1$ por si mismo nos da algo mas chico todavía.
Spoiler: mostrar
Esto que dije informalmente se puede demostrar de otra manera (completamente innecesaria de saber si son nivel 1) usando limites y convergencias de series, simplemente les deje una demostración fácil para que entiendan la idea.
Solución:

Veamos que en el caso de $x$, la razón es $\frac{1}{10}$ y el primer termino es $a$, luego: $x = a + \frac{a}{10} + \dots = \frac{a}{1 - \frac{1}{10}} \iff x = \frac{10a}{9}$.

En el caso de $y$ la razón también es $\frac{1}{10}$ y el primer termino es $\frac{b}{10}$, se sigue que $y = \frac{b}{10} + \frac{b}{10^2} +\dots = \frac{\frac{b}{10}}{1 - \frac{1}{10}} \iff y = \frac{b}{9}$

Por lo tanto $\frac{x}{y} = \frac{\frac{10a}{9}}{\frac{b}{9}} = \frac{10a}{b}$, por consigna sabemos que $\frac{x}{y} \geq 40$, entonces podemos ver que $\frac{10a}{b} \geq 40 \Rightarrow a \geq 4b$.

Dado que $a, b$ son dígitos distintos de cero, simplemente nos queda ir probando cuales funcionan.

Si $b = 1$
$a \geq 4 \land 1 | 10a$

Entonces $\boxed{(a, b) \in \{(1, 4), (1, 5), \dots , (1, 9)\}}$ son soluciones.

Si $b = 2$
$a \geq 8 \land 2 | 10a$

Entonces $\boxed{(a, b) \in \{(2, 8), (2, 9) \}}$ son soluciones.

Si $b \geq 3$
$a \geq 12$

Lo cual es claramente absurdo, entonces las únicas soluciones al problema son las mencionadas anteriormente.
@Bauti.md ig
First place is winning, anything else is losing.
"Alexandra Trusova"
Responder