No es cierto que $a\equiv b \pmod n \iff a^3 \equiv b^3 \pmod n$
Por ejemplo $12$ y $6$ no son congruentes módulo $24$ y $6^3 \equiv 12^3\equiv 0 \pmod {24}$
Como $24\mid a^3+24$ y $24\mid24$ sale que $24\mid a^3$. En particular, al ser $24=2^3\cdot3$ vemos que $3\mid a^3\Longrightarrow3\mid a$ y $2\mid a^3\Longrightarrow 2\mid a$, es decir $6\mid a$. Notemos que cualquier entero de la forma $6k$ cumple pues $(6k)^3+24=6^3k^3+24=216k^3+24=24\cdot9k^3+24=24(9k^3+1)$.
Entonces tenemos que todos los enteros positivos $a$ que cumplen son los múltiplos de $6$, que son $6,~12,~18,~24,~30,~36,~42,~48,~54,~60,~66,~72,~78,~84,~90,~96$.
"La suma de las raíces cuadradas de dos lados de un triángulo isósceles es igual a la raíz cuadrada del lado restante."
No es cierto que $a\equiv b \pmod n \iff a^3 \equiv b^3 \pmod n$
Por ejemplo $12$ y $6$ no son congruentes módulo $24$ y $6^3 \equiv 12^3\equiv 0 \pmod {24}$
Como $24\mid a^3+24$ y $24\mid24$ sale que $24\mid a^3$. En particular, al ser $24=2^3\cdot3$ vemos que $3\mid a^3\Longrightarrow3\mid a$ y $2\mid a^3\Longrightarrow 2\mid a$, es decir $6\mid a$. Notemos que cualquier entero de la forma $6k$ cumple pues $(6k)^3+24=6^3k^3+24=216k^3+24=24\cdot9k^3+24=24(9k^3+1)$.
Entonces tenemos que todos los enteros positivos $a$ que cumplen son los múltiplos de $6$, que son $6,~12,~18,~24,~30,~36,~42,~48,~54,~60,~66,~72,~78,~84,~90,~96$.
Joyaa gracias por la corrección, me sonaba que no estaba del todo bien jaja
$24\mid a^3+24\iff 24\mid a^3\iff a^3=24k,k\in \mathbb{Z}\iff a=\sqrt[3]{2^3\cdot 3\cdot k}\iff a=2\sqrt[3]{3k}$ Lo de adentro ha de ser un cubo perfecto, luego $k=3^2\cdot k'^3,k'\in \mathbb{Z}\Rightarrow a=2\sqrt[3]{3\cdot 3^2\cdot k'^3}\iff a=2\cdot 3\cdot k'\iff \boxed{a=6k'}$
Todos los múltiplos de $6$ cumplen, y como son positivos y menores que $100$, entonces: $a\in \{6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96\}$
Sea $a^3+24$ divisible por $24$, lo que implica que $a^3$ es divisible por $24$.
Sabemos que:$$24=2^3\times 3$$Para que $a^3$ sea divisible por $24$, debe tener en su factorización todos los factores de $24$. Como $a^3$ contiene todos los factores primos de $a$, pero elevados al cubo, se deduce que $a$ debe tener tanto el $2$ como el $3$ en su factorización prima para que $a^3$ sea divisible por $24$.
Por lo tanto, $a$ debe ser múltiplo de $2$ y de $3$, lo que implica que $a$ es múltiplo de $6$.
Los múltiplos de $6$ menores que $100$ son:$$6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96$$
Seja $b=a^3+24$. Como $24\mid b$, e $b=a^3+24$ isto implica que $24\mid a^3$. Fatorando, temos $$\begin{array}{r|l}
24 & 2 \\
12 & 2 \\
6 & 2 \\
3 & 3 \\
1 \\
\end{array}$$ Assim, $a^3$ deve possuir, ao menos, três fatores $2$ e um fator $3$. Note que $2^3\times3=2^2\times6$. Então, se $a^3=24c$, também é igual a $6d\times4e$. Como ao elevar ao cubo obtemos dois fatores a mais, estaremos com exatamente a quantidade necessária, $1+2=3$. Assim, concluímos que qualquer $a<100$ múltiplo de $6$ funciona. Ou seja, $a=6k$ e $a\in[6,96]$. $\bigstar$
Caso eu errar alguma demonstração, lembre-se: não era eu escrevendo!
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