Nivel 2 Problema 4 ¿¿Nacional 1993??

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
BrunZo

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Nivel 2 Problema 4 ¿¿Nacional 1993??

Mensaje sin leer por BrunZo »

Hallar los enteros positivos $a < 100$ tales que $a^3+24$ es divisible por $24$.
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Ulis7s

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Re: Nivel 2 Problema 4 ¿¿Nacional 1993??

Mensaje sin leer por Ulis7s »

No sé si lo resolvi bien pero ya fue
$Resolución:$
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61 sin título_20231210234352.png
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Kechi

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Re: Nivel 2 Problema 4 ¿¿Nacional 1993??

Mensaje sin leer por Kechi »

@@Ulis7s La solución tiene un error:
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No es cierto que $a\equiv b \pmod n \iff a^3 \equiv b^3 \pmod n$
Por ejemplo $12$ y $6$ no son congruentes módulo $24$ y $6^3 \equiv 12^3\equiv 0 \pmod {24}$
Solución:
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Como $24\mid a^3+24$ y $24\mid24$ sale que $24\mid a^3$. En particular, al ser $24=2^3\cdot3$ vemos que $3\mid a^3\Longrightarrow3\mid a$ y $2\mid a^3\Longrightarrow 2\mid a$, es decir $6\mid a$. Notemos que cualquier entero de la forma $6k$ cumple pues $(6k)^3+24=6^3k^3+24=216k^3+24=24\cdot9k^3+24=24(9k^3+1)$.
Entonces tenemos que todos los enteros positivos $a$ que cumplen son los múltiplos de $6$, que son $6,~12,~18,~24,~30,~36,~42,~48,~54,~60,~66,~72,~78,~84,~90,~96$.
"La suma de las raíces cuadradas de dos lados de un triángulo isósceles es igual a la raíz cuadrada del lado restante."
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Ulis7s

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Re: Nivel 2 Problema 4 ¿¿Nacional 1993??

Mensaje sin leer por Ulis7s »

Kechi escribió: Lun 11 Dic, 2023 1:51 am @@Ulis7s La solución tiene un error:
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No es cierto que $a\equiv b \pmod n \iff a^3 \equiv b^3 \pmod n$
Por ejemplo $12$ y $6$ no son congruentes módulo $24$ y $6^3 \equiv 12^3\equiv 0 \pmod {24}$
Solución:
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Como $24\mid a^3+24$ y $24\mid24$ sale que $24\mid a^3$. En particular, al ser $24=2^3\cdot3$ vemos que $3\mid a^3\Longrightarrow3\mid a$ y $2\mid a^3\Longrightarrow 2\mid a$, es decir $6\mid a$. Notemos que cualquier entero de la forma $6k$ cumple pues $(6k)^3+24=6^3k^3+24=216k^3+24=24\cdot9k^3+24=24(9k^3+1)$.
Entonces tenemos que todos los enteros positivos $a$ que cumplen son los múltiplos de $6$, que son $6,~12,~18,~24,~30,~36,~42,~48,~54,~60,~66,~72,~78,~84,~90,~96$.
Joyaa gracias por la corrección, me sonaba que no estaba del todo bien jaja
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drynshock

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Re: Nivel 2 Problema 4 ¿¿Nacional 1993??

Mensaje sin leer por drynshock »

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$24 | a^3 + 24 \iff 24 | a^3 \iff a^3 = 24k, k \in \mathbb Z \iff a = \sqrt[3]{2^3.3.k} \iff a = 2 \sqrt[3]{3k}$ Lo de adentro ha de ser un cubo perfecto, luego $k = 3^2.k'^3, k' \in \mathbb Z \Rightarrow a = 2\sqrt[3]{3.3^2.k'^3} \iff a = 2.3.k' \iff \boxed{a = 6k'}$

Todos los múltiplos de $6$ cumplen, y como son positivos y menores que 100, entonces: $a \in \{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96\}$
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First place is winning, anything else is losing.
"Alexandra Trusova"
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