Las progresiones aritméticas $a_n$: $19,95,171,247,\ldots$ y $b_n$: $20,45,70,95,\ldots$ tienen ambas el número $95$. Calcular el próximo número que es común a las dos sucesiones.
Aclaración: Una progresión aritmética es una sucesión tal que cada término se obtiene sumándole al anterior un número fijo que se llama diferencia de la progresión.
Sabemos que una PA se escribe como: [math]a_n=a_1+(n-1)d
La PA [math]b_n tiene [math]d=25 y [math]b_1=20, entonces los términos de esta terminaran en 0 o 5.
Por lo tanto, para que el nº coincida, [math]a_n_1 tendrá que terminar en 0 o 5.
Para calcular el término de [math]a_n, tenemos [math]a_n=19+(n-1)76, es decir, [math]9+6x termina en 0 o 5. Para ello, x puede valer 1,6,11,16,21,26...
Calculamos:[math]a_{x+1}=19+(x+1-1)76 [math]a_{6+1}=19+(7-1)76=475 => [math](475-20):25+1=19,2=b_{n2} => No [math]... (se prueba con 11, 16, 21) Y luego, [math]a_{26+1}=19+(27-1)76=1995 => [math](1995-20):25+1=80=b_{n2}
Finalmente el segundo nº en común es 1995.
Última edición por hayequipo el Jue 21 Jun, 2012 8:36 pm, editado 1 vez en total.
Sean los numeros de la primera P.A. de la forma [math]19+76a y los de la segunda de la forma [math]20+25b para [math]a y [math]b enteros. Sea [math]n un entero que sea comun a las dos progresiones de forma que:
[math]19+76a=n [math]20+25b=n
Si multiplicamos la primera igualdad por [math]25 y la segunda por [math]76 y luego las restamos se obtiene
[math]1045+1900 \times (b-a)=51n. Reemplazamos el entero [math]b-a por [math]p para que
[math]1045+1900 \times p=51n.
Por congruencia de enteros [math]51 es divisible por [math]1045+1900 \times p. Si ademas se sabe que [math]51 es divisible por [math]1071 y por [math]1887 \times p entonces [math]51 es divisible por [math]13\times p-26=13 \times (p-2). Como [math]13 y [math]51 son coprimos entonces necesariamente [math]p-2 es multiplo de [math]51.
Si [math]p-2 es negativo entonces se llega a un [math]n que es negativo ya que [math]1900 \times p>1045 por lo tanto no nos sirve. El primer [math]p por el cual se llega a un [math]n positivo es [math]2 por el cual se lleva a [math]n=95. Pero como se busca el segundo entonces [math]p=53. Por lo tanto [math]1045+1900 \times 53=51n [math]n=1995
Sean [math]{a_n} : [math]19 + 76 k; [math]{b_n}: [math]20 + 25 q. Como debemos encontrar un término común tenemos:
[math]19 + 76 k = [math]20 + 25 q
[math]76 k - 1 = 25 q
[math]{76 k - 1\over25} = [math]q
[math]{75 k + k- 1\over25} = [math]q
[math]3k + {k-1\over25} = [math]q
Como [math]3k es entero y [math]q también, entonces [math]25 divide a [math]k - 1. Luego, como k debe ser lo menor posible, [math]k - 1\geq 0. La primera y menor posibilidad que tenemos es que [math]k-1 = 0, entonces [math]k = 1 y [math]q = 3, donde el término de la sucesión es [math]95. Pero nosotros debemos encontrar el próximo. Entonces, el próximo múltiplo de [math]25 es casualmente [math]25. Luego, si [math]k=26, [math]q = 79. De allí, el término de la progresión buscado es: [math]19 + 76\times26 = 20 + 25\times79 = 1995.
Última edición por AlviF el Lun 25 Jun, 2012 9:28 pm, editado 2 veces en total.
El segundo número que comparten las dos progresiones es 1995 que lo simbolizo con an. En toda progresión aritmética se cumple que el término enésimo an = a1 + (n-1) d.
"an" es el término enésimo, que en este caso, es el mismo para ambas progresiones.
"a1" es el primer término de la sucesión, que en este caso considero a 95 en las dos progresiones.
"n" es la cantidad de términos que se necesitan para alcanzar a "an".
En la primera progresión es an = 95 + (n1 - 1) . 76 (1)
En la segunda progresión es an = 95 + (n2 - 1) . 25 (2)
Ambas expresiones son iguales porque estoy buscando el término que comparten después del 95. Por lo tanto:
95 + (n1 - 1) . 76 = 95 + (n2 - 1) . 25 de donde resulta que (n1 - 1)/ (n2 - 1) = 25/76. Como 25 y 76 son coprimos, no tienen factores en común, puedo decir que: n1 - 1 = 25 y n2 - 1 = 76 donde resulta que n1=26 y n2=77 que reemplazando en (1) y (2) respectivamente, llego a que an = 1995.
Sabemos que en una progresión los números aumentan de a 76 y en la otra de a 25.
Si bien una empieza en 19 y la otra en 20, sabemos que ambas progresiones incuyen al 95. Entonces imaginemos que el 95 es el cero de la progresión, y las reestablecemos como Pa=76*a y Pb=25*b. Lo siguiente que necesitamos encontrar es el mínimo común múltiplo de 76 y 25. Como 76 y 25 no comparten divisores comunes, el mínimo común múltiplo es su producto. Entonces 76*25=1900.
Le sumamos los 95 iniciales y tenemos que el siguiente número común en la progresión sería el 1995. De esta manera también deducimos que los valores comunes de las progresiones van a ser de la forma Xn = 95 + 1900*n, de modo que podemos averiguar con facilidad cualquier otro valor común de las dos progresiones aritméticas iniciales.
La sucesión [math]a_n a partir del 2do término es igual a [math]19*(5+4k)
La sucesión [math]b_n a partir del 2do término es igual a [math]20 + 5·(5·p) = 20 + 25p
(k y p naturales)
Entonces:
El menor entero k tal que 3.04k es entero es [math]k=25 y entonces [math]p=79
Reemplazando en las fórmulas de las sucesiones tenemos que: [math]19*(5+4k)=19*(5+4*25)=19*105=1995 y [math]20 + 25p = 20+25*79 = 20+1975=1995
Nótese que de esta forma podemos hallar todos los términos que son iguales, tomando distintos valores de k tal que 3.04k sea entero (k=25,50,75,..., es decir [math]k=5^2*r con r entero)
EDIT: recien veo tu solución alvif, es parecida
2do EDIT: cuando llegamos a este punto [math]75+76k=25p podemos pensar que: [math]75+76k=25p \rightarrow 3+\frac{76}{25}k=p y como 25 no divide a 76 entonces 25 divide a k por lo cual k=0,25,50,75,etc
A partir de acá se puede usar congruencias o alguna otra cosa con el tema de restos, yo lo que hice fui ir probando que valores me daba y me di cuenta que los resultados al principio eran: 53, 54, 55, 56... entonces cuando lleguemos a 77 vamos a poder sumarle 1 a k para que la resta nos de 52.
Los números que cumplen son: n = 27, k = 80 y reemplazando en la ecuación original se llega a que el numero buscado es el 1995