Zonal 2012 N3 - P2

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hayequipo
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Zonal 2012 N3 - P2

Mensaje sin leer por hayequipo »

Las progresiones aritméticas $a_n$: $19,95,171,247,\ldots$ y $b_n$: $20,45,70,95,\ldots$ tienen ambas el número $95$. Calcular el próximo número que es común a las dos sucesiones.

Aclaración: Una progresión aritmética es una sucesión tal que cada término se obtiene sumándole al anterior un número fijo que se llama diferencia de la progresión.
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hayequipo
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Re: Zonal N3 - P2

Mensaje sin leer por hayequipo »

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Sabemos que una PA se escribe como: [math]
La PA [math] tiene [math] y [math], entonces los términos de esta terminaran en 0 o 5.
Por lo tanto, para que el nº coincida, [math] tendrá que terminar en 0 o 5.
Para calcular el término de [math], tenemos [math], es decir, [math] termina en 0 o 5. Para ello, x puede valer 1,6,11,16,21,26...
Calculamos:[math]
[math] => [math] => No
[math] (se prueba con 11, 16, 21) Y luego,
[math] => [math]
Finalmente el segundo nº en común es 1995.
Última edición por hayequipo el Jue 21 Jun, 2012 8:36 pm, editado 1 vez en total.
bruno
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Re: Zonal N3 - P2

Mensaje sin leer por bruno »

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Sean los numeros de la primera P.A. de la forma [math] y los de la segunda de la forma [math] para [math] y [math] enteros. Sea [math] un entero que sea comun a las dos progresiones de forma que:

[math]
[math]

Si multiplicamos la primera igualdad por [math] y la segunda por [math] y luego las restamos se obtiene

[math]. Reemplazamos el entero [math] por [math] para que

[math].

Por congruencia de enteros [math] es divisible por [math]. Si ademas se sabe que [math] es divisible por [math] y por [math] entonces [math] es divisible por [math]. Como [math] y [math] son coprimos entonces necesariamente [math] es multiplo de [math].

Si [math] es negativo entonces se llega a un [math] que es negativo ya que [math] por lo tanto no nos sirve. El primer [math] por el cual se llega a un [math] positivo es [math] por el cual se lleva a [math]. Pero como se busca el segundo entonces [math]. Por lo tanto
[math]
[math]
AlviF
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Re: Zonal N3 - P2

Mensaje sin leer por AlviF »

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Sean [math] : [math]; [math]: [math]. Como debemos encontrar un término común tenemos:

[math] = [math]

[math]

[math] = [math]

[math] = [math]

[math] = [math]

Como [math] es entero y [math] también, entonces [math] divide a [math]. Luego, como k debe ser lo menor posible, [math]. La primera y menor posibilidad que tenemos es que [math], entonces [math] y [math], donde el término de la sucesión es [math]. Pero nosotros debemos encontrar el próximo. Entonces, el próximo múltiplo de [math] es casualmente [math]. Luego, si [math], [math]. De allí, el término de la progresión buscado es: [math]
Última edición por AlviF el Lun 25 Jun, 2012 9:28 pm, editado 2 veces en total.
Laura
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Re: Zonal N3 - P2

Mensaje sin leer por Laura »

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El segundo número que comparten las dos progresiones es 1995 que lo simbolizo con an. En toda progresión aritmética se cumple que el término enésimo an = a1 + (n-1) d.
"an" es el término enésimo, que en este caso, es el mismo para ambas progresiones.
"a1" es el primer término de la sucesión, que en este caso considero a 95 en las dos progresiones.
"n" es la cantidad de términos que se necesitan para alcanzar a "an".
En la primera progresión es an = 95 + (n1 - 1) . 76 (1)
En la segunda progresión es an = 95 + (n2 - 1) . 25 (2)
Ambas expresiones son iguales porque estoy buscando el término que comparten después del 95. Por lo tanto:
95 + (n1 - 1) . 76 = 95 + (n2 - 1) . 25 de donde resulta que (n1 - 1)/ (n2 - 1) = 25/76. Como 25 y 76 son coprimos, no tienen factores en común, puedo decir que: n1 - 1 = 25 y n2 - 1 = 76 donde resulta que n1=26 y n2=77 que reemplazando en (1) y (2) respectivamente, llego a que an = 1995.
deku
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Re: Zonal N3 - P2

Mensaje sin leer por deku »

Tengo una manera bastante intuitiva, que a mi entender es menos algebraica pero más simple.
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Sabemos que en una progresión los números aumentan de a 76 y en la otra de a 25.
Si bien una empieza en 19 y la otra en 20, sabemos que ambas progresiones incuyen al 95. Entonces imaginemos que el 95 es el cero de la progresión, y las reestablecemos como Pa=76*a y Pb=25*b. Lo siguiente que necesitamos encontrar es el mínimo común múltiplo de 76 y 25. Como 76 y 25 no comparten divisores comunes, el mínimo común múltiplo es su producto. Entonces 76*25=1900.
Le sumamos los 95 iniciales y tenemos que el siguiente número común en la progresión sería el 1995. De esta manera también deducimos que los valores comunes de las progresiones van a ser de la forma Xn = 95 + 1900*n, de modo que podemos averiguar con facilidad cualquier otro valor común de las dos progresiones aritméticas iniciales.
Meco
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Re: Zonal 2012 N3 - P2

Mensaje sin leer por Meco »

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La sucesión [math] a partir del 2do término es igual a [math]
La sucesión [math] a partir del 2do término es igual a [math]
(k y p naturales)
Entonces:

[math]

El menor entero k tal que 3.04k es entero es [math] y entonces [math]
Reemplazando en las fórmulas de las sucesiones tenemos que:
[math] y [math]

Nótese que de esta forma podemos hallar todos los términos que son iguales, tomando distintos valores de k tal que 3.04k sea entero (k=25,50,75,..., es decir [math] con r entero)

EDIT: recien veo tu solución alvif, es parecida
2do EDIT: cuando llegamos a este punto [math] podemos pensar que:
[math] y como 25 no divide a 76 entonces 25 divide a k por lo cual k=0,25,50,75,etc
jonyayala_95
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Re: Zonal 2012 N3 - P2

Mensaje sin leer por jonyayala_95 »

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Tenemos que $a_n= 76n-57$ y $b_m=25m-5$.

Nosotros queremos encontrar $(n.m)$ tal que:

$76n-57=25m-5$
$76n-25m=52$


Que es una diofántica que tiene solucion ya que $mcd(76,25)=1|52$

Tenemos la "suerte" de saber que $(n,m)=(2,4)$ andan, entonces las soluciones generales son:

$n=2-25k$ y $m=4-76k$

Como los terminos van creciendo, entonces $n$ y $m$ tienen que ser positivos, cosa que pasa cuando $k$ es menor o igual que $0$.

Probamos con $k=-1$

$n=2+25=27$ y $m=4+76=80$

Remplazando en los terminos generales de las P.A tenemos:

$a_{27}=76 \times 27-57=1995$ y
$b_{80}=25 \times 80-5=1995$

Entonces el proximo numero que se repite es $1995$ en las posiciones $27$ y $80$ respectivamente.
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Gregorio

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Re: Zonal 2012 N3 - P2

Mensaje sin leer por Gregorio »

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95-19=76
45-20=25
mcm(76,25)=1900
1900+95=1995.
Re heavy el problema
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drynshock

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Re: Zonal 2012 N3 - P2

Mensaje sin leer por drynshock »

Solución no muy rebuscada:
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Podemos hallar d restando dos términos consecutivos de la sucesión.

$a_n = 19 + 76(n - 1)$
$a_k = 20 + 25(k - 1)$

Como queremos que $a_n = a_k$ igualamos ambas ecuaciones:
$19 + 76(n - 1) = 20 + 25(k - 1)$
$76n - 76 = 1 + 25k - 25$
$76n - 25k = 52$

A partir de acá se puede usar congruencias o alguna otra cosa con el tema de restos, yo lo que hice fui ir probando que valores me daba y me di cuenta que los resultados al principio eran: 53, 54, 55, 56... entonces cuando lleguemos a 77 vamos a poder sumarle 1 a k para que la resta nos de 52.

Los números que cumplen son: n = 27, k = 80 y reemplazando en la ecuación original se llega a que el numero buscado es el 1995
@Bauti.md ig
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"Alexandra Trusova"
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