Archivo de enunciados Selectivos Iberoamericana

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drynshock

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Archivo de enunciados Selectivos Iberoamericana

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Bueno, les comparto un archivo de enunciados con todos los selectivos de la olimpiada Iberoamérica. El pdf todavía no esta 100% terminado, le faltan las imágenes y algunos problemas. De cualquier manera se los dejo
Archivo de enunciados Selectivos Iberoamericana.pdf
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2023
Problema 1
a) Hallar todos los tríos de números primos $(p, q, r)$ tales que se verifica simultáneamente
  • $p+q+r$ no es múltiplo de 3;
  • $p+q+r$ y $pq+qr+rp+3$ son dos cuadrados perfectos.
b) Determinar si hay algún trío de números primos $(p, q, r)$ tales que se verifica simultáneamente
  • $p+q+r$ es múltiplo de 3;
  • $p+q+r$ y $pq+qr+rp+3$ son dos cuadrados perfectos.
Problema 2
Imagen

Problema 3
En el triángulo $ABC$ la bisectriz del ángulo $A\widehat{C}B$ corta al lado $AB$ en $D$. Sea $\omega$ una circunferencia de centro $O$ que pasa por $C$ y $D$ y corta a los lados $BC$ y $AC$ en $M$ y $N$ $(M \neq C, N \neq C)$ respectivamente.
a) Determinar el centro $T$ de una circunferencia $\Omega$ tal que $DM$ es tangente a $\Omega$ en $M$ y $DN$ es tangente a $\Omega$ en $N$.
b) Si $\Omega$ corta nuevamente a las rectas $BC$ y $AC$ en $P$ y $Q$ respectivamente, demostrar que $MP=NQ$ y son constantes al variar la circunferencia $\omega$.

Problema 4
Sobre la mesa hay $100$ tarjetas que tienen escritos los números enteros de $1$ a $100$ (un número en cada tarjeta). Ana y Beto toman de la mesa la misma cantidad de tarjetas de modo que se cumpla la siguiente condición: si Ana tiene la tarjeta con un número $n$ entonces Beto tiene la tarjeta con el número $2n+2$. Determinar el máximo número de tarjetas que pueden tener, en conjunto, los dos amigos.

Problema 5
Hallar todos los polinomios $P(x)$ tales que para todo número real $x$ se verifica que$$(x-1)P(x+1)-(x+1)P(x-1)=4P(x).$$

Problema 6
Se tiene un polígono regular de $n$ vértices. En cada vértice del polígono está inicialmente escrito el número 1. Cada operación permitida consiste en elegir tres vértices consecutivos del polígono, $P, Q, R,$ y si en ese momento los números asignados son $a, b, c,$ respectivamente, reemplazarlos por $a-x, b+|x-y|, c-y$ respectivamente donde $x, y$ son dos números reales positivos (que pueden ser iguales) y satisfacen que $\frac{x}{2} \leq y \leq 2x, a-x \geq 0, c-y \geq 0$. En cada operación $x$ e $y$ pueden variar.
a) El objetivo es lograr que, mediante una sucesión de operaciones permitidas, en algún momento haya por lo menos un vértice que tenga asignado un número mayor a $\frac{3}{2}$.
Determinar si es posible lograrlo.
b) El objetivo es lograr que, mediante una sucesión de operaciones permitidas, en algún momento haya por lo menos un vértice que tenga asignado un número mayor a $\frac{5}{3}$.
Determinar si es posible lograrlo.

2022
Problema 1
Diremos que un entero $n\geq 90$ es bueno si su anteúltimo dígito es $9$. Por ejemplo, $10798$, $1999$ y $90$ son tres enteros buenos, mientras que $9900$, $2009$ y $9$ no son buenos. Ignacio expresa a $2022$ como la suma de $k$ enteros buenos. Determinar el menor valor de $k$ para el que Ignacio puede lograr esta expresión y dar una descomposición para el valor hallado.

Problema 2
En un pizarrón hay inicialmente escritos tres enteros positivos consecutivos, $n-1,n,n+1$. Una movida consiste en elegir dos números escritos en el pizarrón, $a$ y $b$, y reemplazarlos por $2a-b$ y $2b-a$. Determinar los valores de $n$ para los que es posible obtener, luego de una sucesión de tales movidas, que dos de los números escritos en el pizarrón sean iguales a $0$.

Problema 3
Construir con regla y compás un triángulo $ABC$ rectángulo en $A$ de perímetro igual a $10$ y tal que la altura trazada desde el vértice $A$ mida $2$. Indicar los pasos de la construcción y justificar por qué se satisfacen las condiciones.

Problema 4
Sea $n$ un entero positivo. Se colorea cada casilla de un tablero cuadrado de $n\times n$ de azul o de rojo. En total hay $k$ casillas azules en el tablero, Uri escribe al lado de cada fila el número de casillas azules de esa fila, elevado al cuadrado, y debajo de cada columna el número de casillas azules de esa columna, elevado al cuadrado. Finalmente suma los $2n$ números que escribió y obtiene el resultado $A$. Luego hace esos mismos cálculos pero contando en cada caso las casillas rojas (en lugar de las azules) y obtiene el resultado $R$. Si $A-R=50$, determinar todos los posibles valores de $k$, y para cada $k$ hallado, dar un ejemplo de un posible tablero.

Problema 5
Hallar todas las temas de enteros positivos que satisfacen simultáneamente las siguientes tres condiciones

a) $a\leq b\leq c$;
b) $\operatorname{mcd}(a,b,c)=1$;
c) cada uno de los números $a^2b$, $b^2c$ y $c^2a$ divide a $a^3+b^3+c^3$.

Problema 6
Ana y Beto juegan por turnos a un juego con sus $99$ invitados (ellos no cuentan como invitados). Tienen $99$ sillas puestas en círculo; inicialmente todos los invitados están de pie. Cada jugador, en su turno, le ordena a un invitado que esté de pie que se siente en una silla vacía determinada $C$. Al mismo tiempo, si exactamente una de las sillas adyacentes a $C$ está ocupada, el invitado que la ocupa se pone de pie, y si están las dos ocupadas, el jugador decide cuál de los dos se pone de pie. Ana comienza el juego, y su objetivo es que, al cabo de algunas movidas, haya por lo menos $k$ sillas ocupadas. Determinar el mayor valor de $k$ para el que Ana puede lograr su objetivo, no importa cómo juegue Beto.

2021
Problema 1
En un tablero de ajedrez de $n\times n$, con $n\geq 2$, un rey puede hacer dos tipos de movimientos: en el tipo $A$ se mueve a una casilla vecina con la que tiene un lado común; en el tipo $B$ se mueve a una casilla vecina en diagonal, con la que tiene un vértice común.
Hallar todos los valores de $n$ para los que es posible colocar al rey en alguna casilla del tablero y a continuación realizar alternadamente movimientos de tipo $A$ y de tipo $B$, comenzando por uno de tipo $B$, de modo que el rey recorra todas las casillas del tablero pasando exactamente una vez por cada una.

Problema 2
Sean $ABCD$ un cuadrilátero convexo y $O$ la intersección de sus diagonales. Sean $O$ y $M$ los dos puntos de intersección de la circunferencia circunscrita del triángulo $OAD$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $OBC$. Sean $T$ y $S$ los puntos de intersección de $OM$ con las circunferencias circunscritas de los triángulos $OAB$ y $OCD$ respectivamente.
Demostrar que $M$ es el punto medio del segmento $TS$.

Problema 3
Hallar todos los enteros no negativos tales que$$(2^{2m+1})^2+1$$es divisible por a lo sumo dos primos distintos

Problema 4
Sea $a_n$ la sucesión dada por$$a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+\frac{1}{a_n},\quad n=1,2,\ldots .$$Demostrar que $a_{220}>21$.

Problema 5
Hallar todos los enteros positivos $d$ con la siguiente propiedad: existe un entero $k\geq 3$ tal que los $k$ números $d,2d,3d,\ldots ,kd$ se pueden ordenar en una sucesión de manera que las $k-1$ sumas de dos términos consecutivos sean todos cuadrados perfectos.

Problema 6
Se tiene un tablero de $2021\times 2021$. En cada casilla hay escrito un número entero impar. Sean $F_i$ la suma de los números de la fila $i$ y $C_j$ la suma de los números de la columna $j$, para todos $1\leq i,j\leq 2021$. Denotamos $A$ a la multiplicación de todos los $F_i$, y $B$ a la multiplicación de todos los $C_j$. Demostrar que $A+B$ es siempre distinto de $0$.

2019
Problema 1
Sea $n$ un entero positivo. En un tablero de $(2n+1)\times(2n+1)$ Matías marca alternativamente una cruz o un punto en cada casilla hasta completar el tablero (primero marca una cruz). Luego cuenta la cantidad de filas que tienen más cruces que puntos y la cantidad de columnas que tienen más puntos que cruces. Sean $X$ y $P$ respectivamente estas cantidades. El puntaje de Matías es $X+P$. Determinar, para cada $n$, el mayor puntaje que puede obtener Matías.

Problema 2
Sea $x_0, x_1, \ldots, x_{2019}$ una sucesión de enteros positivos tales que $x_0 \leq x_1 \leq \ldots \leq x_{2019}$. Se sabe que $x_0=1$ y que la subsucesión $x_1,x_2,\ldots,x_{2019}$ contiene exactamente $25$ números distintos. Demostrar que vale la desigualdad$$x_2(x_2-x_0) + x_3(x_3-x_1) + x_4(x_4-x_2) + \ldots + x_{2019}(x_{2019}-x_{2017}) \geq 623.$$

Problema 3
Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $DC=DE$ y $D\widehat{C}B=D\widehat{E}A=90^\circ$. Sea $F$ en el segmento $AB$ tal que $\frac{AF}{BF}=\frac{AE}{BC}$. Demostrar que $F\widehat{E}C=B\widehat{D}C$.

Problema 4

Problema 5
Sea $ABC$ un triángulo de papel con $AB = \frac{3}{2}$, $AC = \frac{\sqrt 5}{2}$ y $BC = \sqrt{2}$. Se hace un doblez a lo largo de una línea perpendicular a $AB$. Hallar el valor máximo que puede tener el área de la superposición e indicar el punto por el que pasa la recta del doblez cuando se logra dicho máximo.

Problema 6
Se tiene un número positivo $S$ con la siguiente propiedad: si se toman varios números positivos, no necesariamente distintos, mayores que $0$ y menores o iguales que $1$, cuya suma total es $S$, se sabe que es posible separar los números en dos grupos, uno en el que la suma de los números es menor o igual que $1$ y el otro en el que la suma de los números es menor o igual que $5$.
Hallar el máximo valor posible de $S$.

2018
Problema 1
Un collar tiene $840$ perlas, cada una de ellas de uno de los colores negro, verde o azul. En cada paso se reemplaza simultáneamente cada perla por una nueva perla, con el color de la nueva perla determinado de la siguiente manera: Si las dos perlas vecinas de la perla original eran del mismo color, la nueva perla lleva ese color. Si las dos perlas vecinas de la perla original eran de distinto color, la nueva perla es del tercer color.
  1. ¿Existe algún collar que se pueda transformar con estos pasos en un collar de perlas azules si al comienzo tenía la mitad de las perlas verdes y la otra mitad, negras?
  2. ¿Existe algún collar que se pueda transformar con estos pasos en un collar de perlas azules si al comienzo tenía $700$ perlas negras y el resto verdes?
  3. ¿Es posible transformar un collar con exactamente dos perlas adyacentes negras y $838$ perlas azules en un collar de una perla verde y $839$ perlas azules?
Problema 2
En un pizarrón hay escritos $n > 3$ números enteros positivos distintos, todos menores que $(n-1)!$. Para cada pareja $a > b$ de estos números, Julián escribe en su cuaderno el cociente entero de $a$ dividido $b$ (por ejemplo, si $a=100$ y $b=7$, Julián escribe $14$, pues $100 = 14 \times 7 + 2$). Demostrar que en el cuaderno de Julián quedarán escritos por lo menos dos números iguales.

Problema 3
Dos circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$, de centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente, se cortan en los puntos $A$ y $B$. Una recta que pasa por $B$ corta nuevamente a $\omega_1$ y $\omega_2$ en $C$ y $D$ respectivamente. Las rectas tangentes a $\omega_1$ y $\omega_2$ en $C$ y $D$ respectivamente se cortan en $E$. Sea $F$ el segundo punto de intersección de la recta $AE$ con la circunferencia $\omega$ que pasa por $A$, $O_1$ y $O_2$. Demostrar que la longitud del segmento $EF$ es igual al diámetro de $\omega$.

Problema 4
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. En el arco $BC$ de la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $C$ y no contiene al punto $A$ se eligen los puntos $X$, $Y$ tales que $BX=CY$. Sea $M$ el punto medio del segmento $AX$. Demostrar que $BM+CM \geq AY$.

Problema 5
Se tiene un tablero cuadrado de $n \times n$, con $n>1$, dividido en $n^2$ casillas unitarias. Algunos lados de casillas unitarias se pintan de rojo de modo que cada casilla del tablero tenga exactamente un lado rojo. Para cada $n$
$a)$ hallar la menor cantidad de lados rojos que puede tener el tablero;
$b)$ hallar la mayor cantidad de lados rojos que puede tener el tablero.

Problema 6
Hallar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que para todo entero positivo $m$ se verifica lo siguiente:
Si $1=d_1<d_2<\ldots <d_k=m$ son todos los divisores positivos de $m$, entonces$$f(d_1)f(d_2)\ldots f(d_k)=m.$$

2017
Problema 1
En un pizarrón están escritos los números enteros desde $1$ hasta $2017$. La operación permitida es elegir dos números del pizarrón, borrarlos y escribir en el pizarrón el promedio de los números recién borrados. Por ejemplo, se puede reemplazar $1$ y $2$ con $1,5$, o $1$ y $3$ por $2$. Al cabo de $2016$ operaciones permitidas, en el pizarrón queda un solo número.
a) Demostrar que hay una sucesión de operaciones permitidas que hacen que el número final sea $2$.
b) Demostrar que hay una sucesión de operaciones permitidas que hacen que el número final sea $1000$.

Problema 2
Resolver la ecuación $p^3-q^3=pq^3-1$, donde $p$ y $q$ son números primos positivos.

Nota. El $1$ no es primo

Problema 3
Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$. El punto $D$ pertenece al arco $BC$ de $\omega$ que no contiene al punto $A$. El punto $E$ está en el interior del triángulo $ABC$, no pertenece a la recta $AD$, y satisface $D\widehat{B}E=A\widehat{C}B$ y $D\widehat{C}E=A\widehat{B}C$.
Sea $F$ un punto de la recta $AD$ tal que las rectas $EF$ y $BC$ son paralelas, y sea $G$ un punto de $\omega$ distinto de $A$ tal que $AF=FG$. Demostrar que los puntos $D, E, F, G$ pertenecen a una circunferencia.

Nota. La circunferencia circunscrita de un triángulo es la que pasa por sus tres vértices

Problema 4
Un punto $A$ recorre la circunferencia de centro $O$ y radio $r$. Sea $BC$ un segmento fijo del plano, exterior a la circunferencia. Demostrar que el lugar geométrico del baricentro del triángulo $ABC$ es una circunferencia de radio $\frac{r}{3}$ y cuyo centro es el baricentro del triángulo $OBC$.

Nota. El baricentro de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas.

Problema 5
Sean $a$, $b$, $c$, $d$ números reales positivos tales que $a+b+c+d=3$.
Demostrar que$$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\leq \frac{1}{a^3b^3c^3d^3}.$$

Problema 6
Imagen
2016
Problema 1
En la sucesión $6, 5, 6, 5, 2, \ldots$ cada dígito es igual al último dígito de la suma de los cuatro dígitos previos de la sucesión. Determinar si los cuatro números $2,0,1,6$, los cuatro seguidos y en ese orden, aparecen en la sucesión.

Problema 2
Sea $ABCD$ un trapecio de bases $BC \parallel AD$ y lados no paralelos $AB$ y $CD$. Sobre las diagonales $AC$ y $BD$ sean $P$ y $Q$ respectivamente los puntos tales que $AC$ biseca a $B \widehat{P} D$ y $BD$ biseca a $A \widehat{Q} C$. Demostrar que $B \widehat{P} D = A \widehat{Q} C$.

Problema 3
Sea $\mathbb R$ el conjunto de los números reales. Hallar todas las funciones $f:\mathbb R\to \mathbb R$ tales que, para todos $x,y$ reales, se verifica$$f(f(x)+2y)=6x+f(f(y)-x).$$

Problema 4
Demostrar que para todo número primo $p$ y todo entero positivo $a$ existe un número natural $n$ tal que $p^n$ contiene $a$ dígitos consecutivos iguales.

Problema 5
Sea $ABCDE$ un pentágono convexo con $A\widehat BC=A\widehat ED=90^\circ$ y $A\widehat CB=A\widehat DE$. Los puntos $P$ y $Q$ son los puntos medios de los segmentos $BC$ y $DE$ respectivamente, y los segmentos $CQ$ y $DP$ se cortan en $O$. Demostrar que $AO$ es perpendicular a $BE$.

Problema 6
Un coleccionista tiene $100$ monedas aparentemente iguales. Él sabe que son $30$ auténticas y $70$ falsas. Además sabe que todas las monedas auténticas son de igual peso y que las falsas tienen todas pesos distintos y cada una de ellas es más pesada que una moneda auténtica. Pero él no conoce el peso de ninguna moneda. Dispone de una balanza de platos que le permite comparar los pesos de cualesquiera dos grupos de monedas (la balanza le indica cuál de los dos grupos es más pesado o si ambos pesan lo mismo). Determinar el menor número de pesadas que son suficientes para identificar con certeza una moneda auténtica.

2015
Problema 1
Ana y Beto juegan del siguiente modo. Ana escribe todos los dígitos de $0$ a $9$ alrededor de una circunferencia, una vez cada dígito, en el orden que prefiera. A continuación, Beto elige un dígito y recorre la circunferencia en el sentido de las agujas del reloj, comenzando por el dígito elegido, y agrupa los dígitos consecutivos en parejas. De este modo forma cinco números de dos digitos (uno puede comenzar con $0$). Finalmente suma esos cinco números y Ana debe pagarle esa suma en pesos.
Determinar el menor valor que Ana fatalmente perderá en este juego.

Problema 2
Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que, para todos $x,y$ reales se verifica$$f(xf(y)+x)=xy+f(x).$$

Problema 3
Sea $O$ el centro de la circunferencia que pasa por los vértices de un triángulo $ABC$. Consideramos la recta $\ell$ que pasa por el punto medio del lado $BC$ y es perpendicular a la bisectriz del ángulo $B\widehat{A}C$. Determinar el valor del ángulo $B\widehat{A}C$ si la recta $\ell$ pasa por el punto medio del segmento $AO$.

Problema 4
Un cuadrado $ABCD$ tiene sus vértices sobre una circunferencia de centro $O$. Sea $E$ el punto medio del lado $AD$. La recta $CE$ corta nuevamente a la circunferencia en $F$. Las rectas $FB$ y $AD$ se cortan en $H$. Demostrar que $HD=2AH$.

Problema 5
Hallar todas las ternas $(p,q,r)$ de números primos (positivos) que satisfacen$$p^4+2p+q^4+q^2=r^2+4q^3+1.$$

Problema 6
En un tablero de $2n \times 2n$ exactamente la mitad de las casillas están coloreadas de negro y la otra mitad, de blanco. En cada paso se puede elegir un cuadrado de $2 \times 2$ del tablero y reflejar sus casillas con respecto a la recta horizontal que divide a ese cuadrado por la mitad o con respecto a la recta vertical que divide a ese cuadrado por la mitad. Determinar los enteros positivos $n$ para los que se puede, a partir de cualquier configuración inicial, obtener mediante pasos sucesivos un tablero totalmente coloreado como el de ajedrez.

2014
Problema 1
Determinar el mayor número de rectángulos de $1 \times 3$ que se pueden ubicar en un tablero de $13 \times 17$ de modo que no haya dos de estos rectángulos que se toquen ni siquiera en un punto. (Los rectángulos se pueden colocar en forma vertical u horizontal cubriendo exactamente $3$ casillas del tablero.)

Problema 2
$A$ y $B$ juegan a un juego. En forma alternada escriben un dígito en el pizarrón. Comienza $A$. Cada dígito se puede escribir a la derecha o a la izquierda de la cadena de dígitos ya escritos. Si al cabo de una jugada de $B$ la cadena de dígitos forma un número entero que es un cuadrado perfecto, gana $B$. Determinar si $B$ puede ganar o si $A$ siempre puede evitarlo.

Problema 3
Se tienen tres puntos alineados $B$, $C$, $D$, con $C$ entre $B$ y $D$. Otro punto $A$ que no pertenece a la recta $BD$ es tal que $AB = AC = CD$. Si $\frac{1}{CD} - \frac{1}{BD} = \frac{1}{CD+BD}$, calcular la medida del ángulo $\angle BAC$.

Problema 4
Hallar todos los números reales $a,b,c$ tales que$$a^2+b^2+c^2=26,\quad a+b=5\quad \text{y}\quad b+c\geq 7.$$

Problema 5
Sean $ABC$ un triángulo rectángulo en $C$ y $N$ el pie de la altura correspondiente a la hipotenusa $AB$. Las bisectrices de los ángulos $\angle NCA$ y $\angle BCN$ cortan al segmento $AB$ en $K$ y $L$ respectivamente. Si $S$ y $T$ son los centros de las circunferencias inscritas de los triángulos $BCN$ y $NCA$ respectivamente, demostrar que el cuadrilátero $KLST$ es cíclico.

Problema 6
Hay varios números escritos en una línea. Hacemos la siguiente transformación: en cada paso, para cada par de números adyacentes $a$ y $b$ escribimos $a+b$ entre medio de ambos. Al cabo de $231$ pasos, determinar cuántas veces está escrito el número $231$ en la línea si:
a) Los números iniciales son $1$ y $100$.
b) Los números iniciales son los $100$ primeros naturales, $1, 2, 3, \ldots, 100$, en orden creciente de izquierda a derecha.

2013
Problema 1
Un triángulo equilátero de lado $12$ está dividido, mediante paralelas a sus lados, en $144$ triangulitos de lado $1$. Llamamos casillas a los triangulitos de lado $1$. Algunas casillas están infectadas. Una casilla no infectada se contagia si al menos dos de sus vecinas (con las que comparte un lado) están infectadas. Determinar el número mínimo inicial de casillas que deben estar infectadas para que, en algún momento, todas las casillas del triángulo de lado $12$ estén infectadas.

Problema 2
Hallar todos los pares de números enteros $a$ y $b$ tales que$$\frac{a^2+1}{2b^2-3}=\frac{a-1}{2b-1}.$$

Problema 3
Sea $ABC$ un triángulo isósceles de base $AB$. Se eligen los puntos $P$ en el lado $AC$ y $Q$ en el lado $BC$ tales que $AP+BQ=PQ$. La recta paralela a $BC$ que pasa por el punto medio del segmento $PQ$ corta al segmento $AB$ en $N$. La circunferencia que pasa por los vértices del triángulo $PNQ$ corta a la recta $AC$ en los puntos $P$ y $K$, y a la recta $BC$ en los puntos $Q$ y $L$. Si $R$ es el punto de intersección de las rectas $PL$ y $QK$, demostrar que la recta $PQ$ es perpendicular a la recta $CR$.

Problema 4
Dado un triángulo $ABC$ con $AC=\frac{AB+BC}{2}$, sea $BL$ la bisectriz del ángulo $\angle ABC$, sean $K$ y $M$ los puntos medios de $AB$ y $BC$ respectivamente. Calcular el valor del ángulo $\angle KLM$ si se sabe que $\angle ABC=\beta$.

Problema 5
Hallar todos los números naturales $n$ para los cuales es posible partir el conjunto $\{ 1, 2, \ldots , 3n\}$ de los primeros $3n$ números naturales en conjuntos de tres elementos $\{ a, b, c \}$ tales que $b-a$ y $c-b$ son dos elementos distintos del conjunto $\{ n-1, n, n+1 \}$.

Problema 6
Se tiene un cubo de $10\times 10 \times 10$ dividido en $1000$ cubitos unitarios mediante planos paralelos a sus caras. Inicialmente todos los cubitos son blancos. Alejo y Beto juegan al siguiente juego. Alejo elige una o varias tiras de $1\times 1 \times 10$ en cualquiera de las tres direcciones posibles del cubo, tales que no haya dos de estas tiras que tengan puntos en común, y colorea de negro todos sus cubitos unitarios. A continuación, Beto, que no ve el cubo, selecciona algunos cubitos unitarios y le pregunta a Alejo que color tienen.
Determinar el menor número de cubitos unitarios que debe elegir Beto para determinar con certeza todos los cubitos negros a partir de la respuesta de Alejo.

2012
Problema 1
Un triángulo equilátero de lado $7$ está dividido en $49$ triangulitos equiláteros de lado $1$ mediante paralelas a sus lados. Se recortan del triángulo paralelogramos con un par de lados iguales a $1$ y el otro par iguales a $2$, siguiendo las líneas de la grilla. Determinar el mayor número de estos paralelogramos que se pueden cortar.

Problema 2
Sea $\triangle ABC$ un triángulo y $O$ un punto en su interior. Sea $D$ en $BC$ tal que $OD$ sea perpendicular a $BC$ y $E$ en $AC$ tal que $OE$ sea perpendicular a $AC$. Si $F$ es el punto medio del lado $AB$ y $DF=EF$, demostrar que $\angle OBD = \angle OAE$.

Problema 3
En algunos vértices de un tablero cuadrado de $2012 \times 2012$ hay una mosca y $k$ arañas. En cada segundo, primero la mosca se mueve a un vértice vecino o se queda quieta, y a continuación cada una de las $k$ arañas se mueve a un vértice vecino o se queda quieta (puede haber más de una araña en un mismo vértice). En todo momento, la mosca y las arañas saben las posiciones de todas las demás. Hallar el menor valor de $k$ tal que las arañas pueden atrapar a la mosca en un tiempo finito, no importa las posiciones iniciales de la mosca y de las arañas.

(Dos vértices son vecinos si están unidos por una arista. Una araña atrapa a la mosca si ambas están en el mismo vértice.)

Problema 4
Hay $30$ personas, cada una de las cuales es un caballero o es un mentiroso, sentadas alrededor de una mesa redonda. Los lugares alrededor de la mesa están numerados de $1$ a $30$ en orden consecutivo. Los caballeros siempre dicen la verdad y los mentirosos siempre mienten. Cada persona tiene exactamente un amigo entre los restantes $29$. Además el amigo de cada caballero es un mentiroso y el amigo de cada mentiroso es un caballero. Cada persona responde a la siguiente pregunta: "¿Es verdad que tu amigo es vecino tuyo en la mesa?". Las $15$ personas sentadas en las posiciones con un número impar de la mesa respondieron "Sí".

Determinar cuántas personas ubicadas en posiciones con número par también respondieron "Sí".

Problema 5
Demostrar que es posible colorear los enteros positivos con dos colores de modo que se verifiquen las siguientes dos condiciones:
  • Para cada primo $p$ y para cada entero positivo $n$ los números $p^n,p^{n+1},p^{n+2}$ no son los tres del mismo color;
  • No existe una progresión geométrica infinita de números del mismo color.
Aclaración: Una progresión geométrica es una secuencia de números tales que cada uno se obtiene del anterior multiplicando por un cierto número fijo $r$, llamado razón de la progresión.

Problema 6
Hay $n$ niños ($n\geq 3$), todos de distintas alturas, colocados alrededor de una circunferencia. Un niño en esta configuración se dice alto si es más alto que sus dos vecinos. Hallar todos los posibles números de niños altos que puede haber en la configuración.

2011
Problema 1
Hallar todas las ternas de números primos $(p,q,r)$ que satisfacen$$(p+1)(q+2)(r+3)=4pqr.$$

Problema 2
En el pizarrón está dibujado un polígono convexo de $99$ lados. Ariel dibuja diagonales del polígono, una por una, de modo que cada diagonal $d$ corta (en un punto interior) a no más que una diagonal dibujada antes que $d$. Hallar el número máximo de diagonales que puede dibujar Ariel de acuerdo con estas reglas.

Problema 3
Dos circunferencias, $S_1$ y $S_2$, se cortan en $L$ y $M$. Sea $P$ un punto de $S_2$. Las rectas $PL$ y $PM$ cortan nuevamente a $S_1$ en $Q$ y $R$, respectivamente. Las rectas $QM$ y $RL$ se cortan en $K$. Demostrar que cuando $P$ varía en $S_2$, $K$ pertenece a una circunferencia fija.

Problema 4
¿Cuántos enteros positivos $n$ son divisibles por $2010$ y tienen exactamente $2010$ divisores positivos (contando a $1$ y a $n$)?

Problema 5
A un tablero cuadrado de $2011 \times 2011$ se le ha quitado la casilla superior izquierda. Determinar si es posible dividir el tablero obtenido en menos de $121$ cuadrados, cortando por líneas de la cuadrícula.

Problema 6
Sea $n$ un entero mayor o igual que cero. Definimos el entero positivo $a_n$ por$$a_n=1\underbrace{0\cdots 0}_{n}2\underbrace{0\cdots 0}_{n}2\underbrace{0\cdots 0}_{n}1.$$Demostrar que $\frac{a_n}{3}$ es siempre la suma de dos cubos positivos y nunca es la suma de dos cuadrados.

2010
Problema 1
Emiliano y Mariano juegan en un tablero de $8 \times 8$. Primero Emiliano escribe un número entero en cada casilla del tablero, a su elección (puede repetir números). A continuación Mariano modifica los números del tablero con el siguiente procedimiento: elige un cuadrado formado por casillas del tablero, de tamaño mayor o igual que $2 \times 2$ y menor o igual que $7 \times 7$, y le suma 1 a todas las casillas de ese cuadrado, o le resta 1 a todas las casillas de ese cuadrado.
Mariano gana si logra, aplicando reiteradas veces el procedimiento (puede variar los tamaños de los cuadrados), que todas las casillas del tablero de $8 \times 8$ tengan escrito el 0.
Demostrar que no importa qué números coloque Emiliano, Mariano siempre puede ganar.

Problema 2
Hallar todos los números primos positivos $p$ tales que $p^3 - 4p + 9$ es un cuadrado perfecto.

Problema 3
Sea $ABCD$ un trapecio de bases $AB$ y $CD$, y lados $BC$ y $DA$, tal que $AB = 2CD$. Sea $E$ el punto medio del lado $BC$.
Demostrar que $AB = BC$ si y sólo si el cuadrilátero $AECD$ tiene una circunferencia inscripta.
ACLARACIÓN: El cuadrilátero $AECD$, de lados $AE$, $EC$, $CD$ y $DA$ tiene una circunferencia inscripta (tangente a sus cuatro lados) si y sólo si $AE + CD = DA + EC$.

Problema 4
Sea $O$ el circuncentro del triángulo acutángulo $ABC$ y sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. La bisectriz del ángulo interior $\angle A$ corta a $\Gamma$ en $D$. La bisectriz del ángulo interior $\angle B$ corta a $\Gamma$ en $E$. Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$. Si los puntos $D$, $E$, $O$ e $I$ pertenecen a una misma circunferencia, calcular la medida del ángulo $\angle ACB$.
ACLARACIÓN: La circunferencia circunscrita de un triángulo es la que pasa por sus tres vértices. Su centro se denomina circuncentro. El incentro de un triángulo es el punto de intersección de las bisectrices del triángulo.

Problema 5
a) Demostrar que no existen números reales $x,y$ tales que $x+y$ es un número irracional y los tres números $x^2+y^2$, $x^3+y^3$, $x^4+y^4$ son todos racionales.
b) Demostrar que existen números reales $x,y$ tales que $x+y$ es un número irracional y los dos números $x^2+y^2$, $x^3+y^3$ son ambos racionales.

Problema 6
Sea $n \geq 2$ un entero. Seba elige $n$ enteros positivos $a_1, a_2, ..., a_n$ cuya suma es par y que satisfacen $a_i \leq i$ para todo $i = 1, 2, ..., n$ (puede haber números repetidos). A continuación Miguel elige los signos $+$ o $-$ en la expresión $a_1 \pm a_2 \pm ... \pm a_n$. Miguel gana si el valor de la suma indicada es igual a 0. Si no, gana Seba. Determinar si Seba puede elegir los números para que a Miguel le sea imposible ganar o si siempre Miguel podrá lograr su objetivo.

2009
Problema 1
En los vértices de un polígono regular de $31$ lados se escribieron los números enteros del $1$ al $31$, sin repetir, ordenados en forma creciente en el sentido de las agujas del reloj.

La operación permitida consiste en borrar los tres números de tres vértices, $a,b,c$, a elección, y reemplazarlos, respectivamente, por $c,a-\frac{1}{10},b+\frac{1}{10}$.

Demostrar que usando repetidas veces operaciones permitidas es posible lograr que los números asignados a los vértices sean los enteros del $1$ al $31$, sin repetir, ordenados en forma creciente en el sentido contrario al de las agujas del reloj

Aclaración: En cada operación, los vértices elegidos no son necesariamente consecutivos ni están necesariamente ordenados. Por ejemplo, en la primera operación se podría reemplazar $3,14,1$ por $1,3-\frac{1}{10}=\frac{29}{10},14+\frac{1}{10}=\frac{141}{10}$, respectivamente.

Problema 2
Dos jugadores juegan en una grilla de $m + 1$ líneas horizontales y $m$ líneas verticales (con $m(m + 1)$ puntos de intersección). Se coloca una ficha en un punto de intersección, y luego, por turnos, los jugadores mueven la ficha a un punto adyacente, siguiendo una línea de la grilla que no haya sido usada anteriormente por alguno de los dos jugadores. Pierde el primer jugador que, en su turno, no pueda realizar una jugada. Demostrar que si la ficha se encuentra inicialmente en un punto de la línea horizontal inferior (borde de la grilla) el primer jugador tiene estrategia para ganar.

Problema 3
Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC = BC$. La circunferencia inscrita es tangente a los lados $AB$ y $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Una recta (distinta de $AE$) pasa por $A$ y corta a la circunferencia inscrita en $F$ y $G$. Las rectas $EF$ y $EG$ cortan a la recta $AB$ en $K$ y $L$, respectivamente. Demostrar que $DK = DL$.

Problema 4
Hallar todas las parejas de enteros positivos $x,y$ tales que$$\frac{xy^2}{x+y}$$es un número entero primo.

Problema 5
Dados $a$ y $k$ enteros positivos, un programa de computadora genera una sucesión infinita de números, de acuerdo con la siguiente regla:

El primer número es $a$, y a partir de allí, luego de generar el número $x$, el siguiente número que genera es igual a $x+kp(x)$, donde $p(x)$ indica el producto de los dígitos de $x$ (por ejemplo, $p(413) = 12$; $p(308) = 0$).

Demostrar que se pueden elegir $a$ y $k$ para que la sucesión tenga exactamente $100$ números distintos.

Problema 6
En un grupo de $2009$ personas, cada par de personas tienen exactamente un amigo común. Sea $M$ el número de amigos de la (o las) persona con más amigos, y $m$ el número de amigos de la (o las) persona con menos amigos. Determinar los posibles valores de $M - m$.

2008
Problema 1
Se tienen $100$ cubos iguales. Gonzalo debe pintar todas las caras de los cubos de negro o de blanco de modo que cada cubo tenga al menos una cara de cada color, que por lo menos $50$ de los cubos tengan más de una cara blanca y por lo menos $50$ tengan más de una cara negra.
A continuación, Seba debe colocar los cubos sobre la mesa de manera que sus bases formen el marco que bordea un rectángulo de $40\times12$. Si la cantidad de caras visibles negras es igual que la cantidad de caras visibles blancas, gana Seba. De lo contrario, gana Gonzalo.
Demostrar que no importa como Gonzalo pinte los cubos, siguiendo las reglas, Seba siempre puede ganar.

Problema 2
Dos circunferencias, $\omega_1$ y $\omega_2$ se cortan en $A$ y $B$. Sean $r_1$ la tangente a $\omega_1$ que pasa por $A$ y $r_2$ la tangente a $\omega_2$ que pasa por $B$. Las rectas $r_1$ y $r_2$ se cortan en $C$. Sea $T$ el punto de intersección de $r_1$ y $\omega_2$ ($T\neq A$). Consideramos un punto $X$ de $\omega_1$ (que no es ni $A$ ni $B$ ). La recta $XA$ corta a $\omega_2$ en $Y$($Y\neq A$). Las rectas $YB$ y $XC$ se cortan en $Z$. Demostrar que $TZ$ es paralelo a $XY$.

Problema 3
Demostrar que se puede formar una sucesión de $100$ cuadrados perfectos tales que el promedio entre dos términos consecutivos de la sucesión sea siempre un cuadrado perfecto, cada término (a partir del segundo) sea mayor que el que lo precede, y cada término (a partir del segundo) sea coprimo con el que lo precede.

Aclaración: Se llama cuadrado perfecto al cuadrado de un número entero.

Problema 4
Hallar todos los valores enteros de $x$ tales que el producto$$x(x+1)(x+7)(x+8)$$es un cuadrado perfecto.

Problema 5
Germán elige un número entero positivo $k$ y se lo dice a Nico. A continuación Nico debe seleccionar $k$ enteros mayores o iguales que $1$ y menores o iguales que $2008$ coprimos dos a dos. Si entre los $k$ enteros de Nico hay al menos un número primo, gana Germán. Si no, gana Nico. Hallar el menor valor de $k$ que le permite a Germán ganar, no importa lo bien que juegue Nico.

Aclaración: Se dice que los números de un conjunto son coprimos dos a dos si para cada par de números del conjunto se verifica que son coprimos.

Problema 6
El plano está dividido en regiones mediante $n\geq 3$ rectas entre las que no hay dos paralelas ni tres concurrentes. Varias regiones se colorean de negro de modo que no haya dos regiones negras que compartan un segmento o una semirrecta de su borde. Demostrar que el número de regiones coloreadas es a lo sumo$$\frac{1}{3}n(n+1)$$

2007
Problema 1
Determinar todos los enteros positivos $a,b,c,d,e$ tales que $a>b>c>d>e$ y $$\left\lfloor \frac{a+b}{3}\right\rfloor^2+\left\lfloor \frac{b+c}{3}\right\rfloor^2+\left\lfloor \frac{c+d}{3}\right\rfloor^2+\left\lfloor \frac{d+e}{3}\right\rfloor^2=38.$$
ACLARACIÓN: $\left\lfloor x\right\rfloor$ denota la parte entera de $x$, es decir, el mayor entero que es menor o igual que $x$.

Problema 2
Sean $m>1$ y $n>1$ enteros impares. En cada casilla de un tablero de $m\times n$ se escribe un número distinto (son en total $mn$ números). Diremos que un número es importante si es el mayor de su fila y, al mismo tiempo, es justo el número del medio entre todos los de su columna o si es el mayor de su columna y, al mismo tiempo, es justo el número del medio entre todos los de su fila.
Determinar cuál es la mayor cantidad de números importantes que puede tener el tablero.
ACLARACIÓN: Si $m$ es impar, el número justo del medio de $m$ números distintos es el que tiene, entre esos $m$ números, $\frac{m-1}{2}$ números mayores que él y $\frac{m-1}{2}$ números menores que él.

Problema 3
En un triángulo $ABC$, con $AB<BC$, sea $D$ en el lado $AC$ tal que $AB=BD$. Sean $K$ y $L$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscripta en el triángulo $ABC$ con los lados $AB$ y $AC$, respectivamente, y sea $J$ el incentro del triángulo $BCD$. Demostrar que el punto de intersección de $KL$ y $AJ$ es el punto medio del segmento $AJ$.

Problema 4
Sean $A,B,C,D,E$ cinco puntos de una circunferencia $G$ tales que el pentágono $ABCDE$ es convexo. Se sabe que $AD$ es un diámetro de $G$ y que las diagonales $BE$ y $AC$ son perpendiculares. Sea $P$ el punto donde se cortan $CE$ y $AD$. Demostrar que $$\text{área}(APE)=\text{área}(ABC)+\text{área}(CDP).$$

Problema 5
Demostrar que si $N$ es un número natural que no es divisible por $81$ y se puede representar como $N=a^2+b^2+c^2$, con $a,b$ y $c$ enteros divisibles por $3$, entonces $N$ también se puede representar como $N=x^2+y^2+z^2$, de modo que $x,y,z$ sean números enteros y ninguno de ellos sea divisible por $3$.

Problema 6
Se considera un tablero de $10\times 10$ dividido en cuadritos de $1\times 1$. En cada paso se eligen dos filas y dos columnas del tablero, y se colorean los $4$ cuadritos de $1\times 1$ que están en la intersección de esas dos filas y esas dos columnas. El paso es legítimo si al menos uno de los $4$ cuadritos de $1\times 1$ no estaba coloreado previamente. Determinar el mayor número de pasos legítimos que se pueden realizar hasta que el tablero quede totalmente coloreado.

2006
Problema 1
Se dispone de un tablero de $n\times n$ (dividido en casillas de $1\times 1$) y de un rey. En cada movida el rey se desplaza una casilla, y tiene dos clases de movimientos: de clase $I$ si se desplaza de la casilla que ocupa a una vecina horizontal o vertical; de clase $II$ si se desplaza de la casilla que ocupa a una vecina diagonal (con un solo vértice en común). Además es obligatorio que las movidas consecutivas sean siempre de distinta clase (se deben alternar una movida de cada clase). Hallar todos los enteros $n\ge 2$ para los cuales es posible elegir una casilla inicial y una secuencia de movidas tales que el rey visite exactamente una vez cada casilla del tablero (se considera que la casilla inicial fue visitada por el rey al iniciar la primera movida).

Problema 2
Sea $ABC$ un triángulo tal que $BC>CA>AB$. Sea $D$ en el lado $BC$ tal que $BD=AC$ y sea $E$ en la prolongación del lado $BA$ ($A$ está entre $B$ y $E$) tal que $BE=AC$. La circunferencia que pasa por $B,E$ y $D$ corta al lado $AC$ en $P$, y la recta $BP$ corta a la circunferencia que pasa por $A,B$ y $C$ en $Q$ ($Q\neq B$). Demostrar que $AQ+CQ=BP$.

Problema 3
Sean $a,b,c,d,e,f$ números reales tales que:$$a+b+c+d+e+f=0$$y$$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2=6$$Demostrar que $abcdef\leq \frac{1}{2}$.

Problema 4
Hallar todos los enteros $x$ tales que $1+105\cdot 2^x$ es el cuadrado de un número racional.

Problema 5
Se elige un entero positivo y a partir de éste se construye una lista de números enteros en la que cada número, a partir del segundo, se obtiene efectuando la resta del número anterior menos el número anterior pero escrito de derecha a izquierda (y con el mismo signo que el número anterior). Por ejemplo, si el primer número de la lista es $3570$, el segundo es $2817$, pues $3570-0753=2817$, el tercero es $-4365$, pues $2817-7182=-4365$, el cuarto es $1269$, pues $-4365-(-5634)=1269$, etc.
Hallar el menor entero positivo que se puede elegir inicialmente para que sea posible prolongar la lista indefinidamente sin que nunca se haga idénticamente $0$.

Problema 6
Un polígono regular de $n$ lados se divide en triángulos mediante $n-3$ diagonales que no se cortan en el interior del polígono. Determinar, para cada $n$, el máximo número de triángulos no congruentes que puede tener la división.

2005
Problema 1
En una bolsa hay 200 bolillas, cada una con uno de los números enteros de $1$ a $200$. Germán debe sacar, sin mirar, algunas bolillas de modo que entre las que sacó haya (al menos) dos, $P$ y $Q$, tales que $\frac{2}{3} \leq \frac{P}{Q} \leq \frac{3}{2}$. Determinar la menor cantidad de bolillas que debe sacar Germán para estar seguro de que cumplirá el objetivo.

Problema 2
En un tablero de $10 \times 10$ cuadriculado en cuadritos de $1 \times 1$ hay que colocar piezas rectangulares, cubriendo exactamente casillas del tablero, como en la batalla naval, de modo que dos piezas no se pueden tocar ni siquiera en un vértice. Decidir si con esas reglas es posible colocar
a) $2$ de $1 \times 4$, $4$ de $1 \times 3$, $6$ de $1 \times 2$ y $8$ de $1 \times 1$;
b) $2$ de $1 \times 4$, $4$ de $1 \times 3$, $6$ de $1 \times 2$, $6$ de $1 \times 1$ y $1$ de $2 \times 2$;
c) $2$ de $1 \times 4$, $4$ de $1 \times 3$, $6$ de $1 \times 2$, $4$ de $1 \times 1$ y $2$ de $2 \times 2$.

Problema 3
Sean $A, B, C$ tres puntos en una circunferencia tales que el triángulo $ABC$ tiene $AB < BC$. Denotamos $M$ al punto medio del lado $AC$ y $N$ al punto medio del arco $AC$ que contiene a $B$. Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$. Demostrar que $I\hat{M}A = I\hat{N}B$.
ACLARACIÓN: El incentro de un triángulo es el punto de intersección de sus bisectrices.

Problema 4
Para todo entero positivo $a$, hallar un entero positivo $n$ con todos sus dígitos distintos de $0$ tal que la suma de los dígitos de $n$ sea igual a la suma de los dígitos del producto $a \cdot n$.

Problema 5
Sea $ABC$ un triángulo obtusángulo inscripto en una circunferencia de radio $1$. Demostrar que el triángulo se puede cubrir con un triángulo rectángulo e isósceles de hipotenusa $\sqrt{2} + 1$.

Problema 6
Se define la sucesión $x_1 = 3$, $x_2 = 2$, $x_3 = 12$ y $x_{n+3} = 3x_{n+2} + 2x_{n+1} + 7x_n$ para todo entero $n \geq 1$. Demostrar que para todo entero positivo $m$ coprimo con $7$, entre los $m^3$ números $x_1,x_2,\ldots,x_{m^3}$ hay al menos uno que es divisible por $m$.

2004
Problema 1
En un torneo de ajedrez en el que participan $8$ jugadores al cabo de la primera semana se observa que ningún jugador ha enfrentado más de una vez al mismo oponente y que es imposible formar un grupo de $5$ jugadores de modo tal que cada integrante haya enfrentado a los otros $4$. Determinar el máximo número de partidos que se pueden haber jugado hasta el momento en que se hicieron las observaciones.

Problema 2
Hallar todos los primos positivos $p$ tales que
$\frac{2^{p-1}-1}{p}$
es un cuadrado.

Problema 3
Sea $ABC$ un triángulo donde $B$ es el mayor de sus ángulos, $O$ su circuncentro y $M$ el punto medio de $AC$. Sea $T$ el circuncentro del triángulo $AOC$. Sean $E$ y $D$ puntos en $BC$ y $AB$ respectivamente tales que $\angle{ABC}= \angle{BEM}= \angle{BDM}$. Demostrar que $BT$ es perpendicular a $DE$.

Problema 4
Dado un paralelogramo $ABCD$ de lados $AB,BC,CD$ y $DA$ sean $M$ en el lado $AB$ y $N$ en el lado $BC$ tales que $AM=NC$ ($M$ y $N$ no son vértices). Denotamos $Q$ al punto de intersección de $AN$ y $CM$. Demostrar que $DQ$ es bisectriz del ángulo $\angle ADC$.

Problema 5
Se tiene un tablero de $2^{51}\times 2^{53}$ cuadriculado en cuadraditos de $1\times 1$ y una cantidad ilimitada de piezas en forma de $L$; cada pieza cubre exactamente $3$ cuadraditos del tablero. Decidir si con estas piezas es posible cubrir todo el tablero excepto un cuadradito, sin dejar otros huecos, sin superposiciones y sin sobresalirse del tablero. Está permitido girar las piezas o darlas vuelta.

Problema 6
Sea $p$ un primo positivo con exactamente $30$ dígitos, todos distintos de cero. Se define la sucesión $(a_n)$ de la siguiente manera:
$a_1=p\ \text{y}\ a_{n+1}\ \text{es el período del número}\ \frac{1}{a_n}\ \text{, multiplicado por 2}.$
Hallar $a_{101}$.

2003
Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

Problema 6

2002
Problema 1
Se tiene un triángulo equilátero de lado $33$ subdividido mediante paralelas a sus lados en $33^2=1089$ triangulitos equiláteros de lado $1$. Se debe colorear de rojo algunos segmentos de longitud $1$ que sean lados de triangulitos, de manera tal que ningún triangulito resulte con sus tres lados rojos. Determinar la máxima cantidad de segmentos de longitud $1$ que se puede colorear de rojo.

Problema 2
En un cuadrilátero convexo $ABCD$ (que no es un paralelogramo) las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $P$. La bisectriz del ángulo $\angle APB$ intersecta al lado $AB$ en $Q$ y la bisectriz del ángulo $\angle APD$ intersecta al lado $AD$ en $R$. Denotamos $M$ y $N$ a los puntos medios de $AC$ y $BD$ respectivamente y sea $O$ el punto de $MN$ tal que $\frac{MO}{NO}=\frac{AC}{BD}$. Demostrar que la recta $AO$ pasa por el punto medio de $QR$.

Problema 3
Se considera la suma de $1023$ sumandos
$$S=\left\lfloor \frac{1}{3}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{2}{3}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{2^2}{3}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{2^3}{3}\right\rfloor+\dots+\left\lfloor \frac{2^{1022}}{3}\right\rfloor.$$
Sea $a_0,a_1,a_2,\dots$ la sucesión de $0$ y $1$ formada, respectivamente, por los coeficientes de $2^0,2^1,2^2,\dots$ en el desarrollo binario de $S$. Hallar la sucesión $a_0,a_1,a_2,\dots$.

Aclaración: Los corchetes indican la parte entera del número que encierran.

Problema 4
En cierto país solamente hay monedas de $2$ y de $3$ centavos, y la entrada al cine cuesta $1$ centavo. Un grupo de $n$ amigos fue al cine. En la puerta, cada uno puso todas las monedas que tenía en un "fondo común". Con las monedas reunidas, se pagaron las $n$ entradas, sin recibir vuelto del cajero, y luego se distribuyeron las monedas sobrantes de modo que cada uno recibió la cantidad de dinero correcta, es decir, $1$ centavo menos de los que había puesto. Determinar, para cada $n$, la mínima cantidad de dinero que podía tener el "fondo común".

Problema 5
Hallar todas las soluciones reales de la ecuación$$\left \{\frac{1}{2}x\right \}=\frac{1}{16}x+\frac{1}{32}$$Aclaración: Las llaves indican la parte decimal del número que encierran, es decir, $\{a\}=a-[a]$, donde $[a]$ es la parte entera de $a$.

Problema 6
Determinar el mínimo número real $r$ tal que sea posible cubrir un triángulo equilátero de lado $1$ con seis círculos de radio $r$.

2001
Problema 1
Se tiene un tablero de $21\times 21$ y una abundante cantidad de fichas. En la primera jugada se colocan $20$ fichas, todas ellas en casillas diferentes. Luego, en cada jugada, se eligen una fila y una columna y se agrega una ficha a cada casilla de la fila elegida y una ficha a cada casilla de la columna elegida (la casilla que está en la intersección de la fila y la columna elegidas recibe dos fichas). Decidir si es posible que al cabo de una serie de jugadas todas las casillas tengan el mismo número de fichas. (Si la respuesta es afirmativa, describir las jugadas; si es negativa, explicar el porqué.)

Problema 2
Las circunferencias $G_1$ y $G_2$ se intersectan en dos puntos, $A$ y $B$. Se traza por $B$ una recta que intersecta a $G_1$ en $C$ y a $G_2$ en $D$. La recta tangente a $G_1$ que pasa por $C$ corta a la recta tangente a $G_2$ que pasa por $D$ en $E$. La recta simétrica a la recta $AE$, con respecto a la recta $AC$, corta a $G_1$ en $F$ (además de en $A$). Demostrar que $BF$ es tangente a $G_2$.

Nota: Considerar sólo el caso en que $C$ no pertenece al interior de $G_2$ y $D$ no pertenece al interior de $G_1$.

Problema 3
Un número natural es perfecto si es igual a la suma de sus divisores positivos propios. Por ejemplo, $6$ es perfecto pues sus divisores positivos propios son $1,2$ y $3$, y $6=1+2+3$; $28$ es perfecto pues sus divisores positivos propios son $1,2,4,7$ y $14$, y $28=1+2+4+7+14$. Demostrar que si $n>6$ es un número perfecto divisible por $3$, entonces $n$ es divisible por $9$.

Problema 4
Sea $n$ un entero positivo. Demostrar que la cantidad de pares ordenados de números enteros $(x,y)$ que satisfacen la ecuación$$x^2-xy+y^2=n$$es un número entero múltiplo de $6$. (Dicha cantidad puede ser $0$, que es múltiplo de $6$, pero hay que demostrar que no puede ser infinita.)

Problema 5
Dado un triángulo de lados $a,b,c$ tal que el baricentro del triángulo pertenece a la circunferencia inscripta en el triángulo, demostrar que$$5\left (a^2+b^2+c^2\right )=6(ab+bc+ca).$$

Problema 6
Demostrar que para cada número natural $n$ hay una potencia de $2$ cuya expresión decimal tiene entre sus últimos $n$ dígitos (de la derecha) más de $\frac{2}{3}n-1$ dígitos que son iguales a $0$.
ACLARACIÓN: La expresión decimal de un número es su escritura usual en base $10$. Por ejemplo, la expresión decimal de $2^7$ es $128$.

2000
Problema 1
Pablo debe elegir nueve números enteros positivos distintos y colocarlos uno en cada casilla de un tablero de $3\times 3$ de manera tal que si dos números están en casillas vecinas entonces uno de ellos es divisor del otro. Determinar el mínimo valor posible del mayor de los nueve números que puede elegir Pablo.

Aclaración: Dos casillas son vecinas si tienen un lado en común.

Problema 2
Sean $ABC$ un triángulo, $O$ su circuncentro, $P$ el punto medio de $AO$ y $Q$ el punto medio de $BC$. Si $\angle OPQ=a$, $\angle CBA=4a$, $\angle ACB=6a$, determinar el valor de $a$.

Problema 3
Determinar el menor número natural $n$ tal que la suma de los cuadrados de los divisores positivos de $n$ (incluidos $1$ y $n$) es igual a $(n+3)^2$.

Problema 4
Sea $S$ un conjunto finito de puntos de una recta con la siguiente propiedad: si $P$ y $Q$ son dos puntos de $S$, entonces hay un punto $R$ en $S$ tal que o bien $R$ es el punto medio de $PQ$, o bien $Q$ es el punto medio de $PR$, o bien $P$ es el punto medio de $QR$. Determinar el máximo número de puntos que puede tener el conjunto $S$.

Problema 5
Sean $A,P,X$ tres puntos del plano tales que $45^{\circ}<\angle APX<90^{\circ}$. Construir con regla y compás un cuadrado $ABCD$ de modo que $P$ pertenezca al lado $BC$ y la recta $PX$ intersecte al lado $CD$ en el punto $Q$ tal que $\angle QAP=\angle PAB$.

Problema 6
Sea $p>2$ un número primo fijo. Dos jugadores $A$ y $B$ escriben, por turnos, una sucesión de números enteros de acuerdo con las siguientes reglas: $A$ elige un número $a_1$ y lo escribe, luego $B$ elige un número $a_2$ y lo escribe; a continuación, $A$ escribe el número $a_3=a_1+a_2$; luego $B$ escribe el número $a_4=a_2+a_3$, y así siguiendo, cada jugador en su turno escribe el número igual a la suma de los últimos dos números escritos, es decir, $a_{n+1}=a_{n-1}+a_n$.
El juego termina en el paso $j$, luego de que un jugador escribió $a_j$, si existe un índice $i$, con $2<i<j$, tal que $a_i-a_j$, es múltiplo de $p$ y además $a_{i-1}-a_{j-1}$ es también múltiplo de $p$. Gana el jugador que escribió el último número.
Determinar cuál de los dos jugadores tiene estrategia ganadora.

1999
Problema 1
Fernando elige $14$ números enteros positivos distintos. Sebastián puede suprimir una cantidad par de estos números, pero no todos, y a cada uno de los números restantes debe pintarlo de rojo o de azul, de modo que la mitad de los números sean rojos y la otra mitad sean azules. Se calcula la suma de los inversos multiplicativos de los números rojos: $R$, y se calcula la suma de los inversos multiplicativos de los números azules: $A$. Si el valor absoluto de la diferencia entre estas dos sumas es menor que $0,001$ (es decir, si $|A-R|<0,001$), gana Sebastián. En caso contrario, gana Fernando. Demostrar que cualesquiera sean los $14$ números que elija Fernando, Sebastián siempre le puede ganar.

Aclaración: el inverso multiplicativo de $x$ es $\frac{1}{x}$.

Problema 2
Sea $ABP$ un triángulo isósceles con $AB=AP$ y el ángulo $\angle PAB$ agudo. Se traza por $P$ la recta perpendicular a $BP$, y en esta perpendicular se considera un punto Cubicado del mismo lado que $A$ con respecto a la recta $BP$ y del mismo lado que $P$ con respecto a la recta $AB$. Sea $D$ tal que $DA$ es paralelo a $BC$ y $DC$ es paralelo a $AB$, y sea $M$ el punto de intersección de $PC$ y $DA$. Hallar $\frac{DM}{DA}$.

Problema 3
Sean $a,b,c,d$ números reales distintos tales que$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}=4\quad \text{y}\quad ac=bd.$$Hallar el máximo valor posible de$$\frac{a}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b}.$$

Problema 4
Hallar el menor valor de $n$ para el que $1999$ puede expresarse como la suma de $n$ potencias cuartas de números enteros positivos.

Problema 5
Sea $ABCD$ un rectángulo con el lado $AB$ mayor que el lado $AD$. La circunferencia de centro $B$ y radio $AB$ intersecta a la recta $DC$ en los puntos $E$ y $F$.
(a) Demostrar que la circunferencia circunscrita al triángulo $EBF$ es tangente a la circunferencia de diámetro $AD$.
(b) Sea $G$ el punto de tangencia entre las dos circunferencias mencionadas en (a). Demostrar que los puntos $D,G$ y $B$ son colineales.

Problema 6
Dado un entero positivo $n$, sea $X=\{1,2,3,\dots ,n\}$ el conjunto de los enteros desde $1$ hasta $n$. Consideramos una familia $F$ de subconjuntos propios de $X$ con la siguiente propiedad: si dos subconjuntos pertenecen a la familia $F$, entonces o bien son disjuntos o bien uno está contenido en el otro. Para cada $n$, hallar el número máximo de subconjuntos que puede tener la familia $F$.

Aclaración: un subconjunto de $X$ es propio si no es vacío ni es igual al conjunto $X$.


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mszew

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Re: Archivo de enunciados Selectivos Iberoamericana

Mensaje sin leer por mszew »

Excelente iniciativa... despues me fijo si encuentro los anteriores de las primeras de ppio de los 90...
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