Torneo Internacional de las Ciudades - Marzo 2022 - NJ P5 / NM P3

[BR1]

La intersección de dos triángulos es un hexágono. Si se remueve el hexágono quedan seis triángulos pequeños. Los seis radios de los incírculos de cada uno de estos seis triángulos son iguales. Demostrar que los dos radios de los incírculos de cada uno de los dos triángulos originales son iguales.

Tot2022A.png

[Joacoini]

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Nombramos los vértices como en la imagen y trazamos el hexágono formado por los centros de los incírculos. Notar que esta pintados los segmentos iguales debido a las tangencias del mismo color.

$U, V, W, X, Y, Z$ son puntos medios del hexágono que dibujamos. Así que por base media los triángulos $ABC$ y $O_AO_BO_C$ son homotéticos con centro de homotecia el incentro de ambos. Lo mismo para los triángulos $DEF$ y $O_DO_EO_F$.

Sea $r$ el radio de los seis incírculos, dado que $WX+YZ+UV=ZU+VW+XY$ tenemos que $[WO_DX]+[YO_EZ]+[UO_FV]=[ZO_AU]+[VO_BW]+[XO_CY]$.

Y por las bases medias $[O_BO_DO_C]+[O_CO_EO_A]+[O_AO_FO_B]=[O_EO_AO_F]+[O_FO_BO_D]+[O_DO_CO_E]$

Esto implica que $[O_DO_EO_F]=[O_AO_BO_C]$, y notar que el perímetro de ambos triángulos es el mismo (la suma de todos los colores).
Por la formula del área de semiperímetro por inradio, los inradios de $O_DO_EO_F$ y $O_AO_BO_C$ son iguales, $R$.

Debido a las homotecias antes mencionadas, los inradios de $ABC$ y $DEF$ son ambos iguales a $r+R$.

Hex.png