EGMO 2023 P3

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BR1

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2024 FOFO Pascua 2024 - Medalla-FOFO Pascua 2024
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EGMO 2023 P3

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Sea $k$ un entero positivo. Alexa tiene un diccionario $\mathcal{D}$ que contiene algunas palabras de $k$ letras formadas sólo con las letras $A$ y $B$. En cada casilla de un tablero de tamaño $k\times k$, Alexa quiere escribir sólo la letra $A$ o la letra $B$, de tal manera que cada columna contenga una palabra de $\mathcal{D}$ cuando es leída de arriba a abajo y cada fila contenga una palabra de $\mathcal{D}$ cuando es leída de izquierda a derecha.
¿Cuál es el menor entero $m$ tal que si $\mathcal{D}$ contiene por lo menos $m$ palabras diferentes, entonces Alexa siempre puede llenar su tablero de esta manera, sin importar cuáles son las palabras que están en el diccionario $\mathcal{D}$?
ACLARACIÓN: $1$ no es primo
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