Con [math]x=0 nos queda, [math]f(f(y))=f(0)^2+y de donde se sigue que [math]f es biyectiva pues [math]f(0)^2+y recorre todos los valores reales entonces es sobreyectiva y si [math]f(x)=f(y) entonces [math]f(f(x))=f(f(y)) y [math]f(0)^2+x=f(0)^2+y y [math]x=y.
Ahora tomamos [math]x=f^{-1}(0),
queda [math]f(f(y))=y, (en particular con lo anterior [math]f(0)=0).
Luego con [math]x=f(x), [math]f(f(x)x+f(y))=x^2+y, combinando esto con la ecuación original sale que, [math]f(x)^2+y=x^2+y \Rightarrow f(x)^2=x^2 \Rightarrow f(x)=\pm x.
Si [math]f(1)=1, con [math]x=1 queda, [math]f(f(y)+1)=y+1, luego para que quede el [math]+1 debemos tener [math]f(f(y)+1)=f(y)+1 de donde [math]f(y)=y.
Si [math]f(1)=-1, de nuevo con [math]x=1, queda, [math]f(f(y)-1)=y+1, ahora para que quede el [math]+1 debemos tener [math]f(f(y)-1)=-(f(y)-1) de donde [math]f(y)=-y.
Se sigue que las únicas funciones posibles son [math]f(x)=x y [math]f(x)=-x que es trivial ver que funcionan.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore! Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
Tomemos [math]y=-(f(x))^2 y nos queda: [math]f(xf(x)+f(-(f(x))^2))=0
Luego existe al menos un numero, llamemoslo [math]x_0, tal que [math]f(x_0)=0. Tomamos [math]x=x_0 y nos queda: [math]f(f(y))=y. Lo llamamos [math](1).
Ahora tomamos en [math](1)[math]y=x_0 y nos queda: [math]f(0)=x_0 de donde [math]x_0 es unico, ya que sino de lo contrario [math]f(0) tendria dos valores o mas y no seria funcion.
Ahora reemplazamos [math]x=0 en nuestra ecuacion original y nos queda: [math]f(f(y))=(f(0))^2+y pero restando [math](1) llegamos a que [math]f(0)=0.
En la ecuacion original tomamos [math]y=0 y nos queda: [math]f(xf(x))=(f(x))^2. Ahora tomamos [math]x=f(z) y nos queda: [math]f(f(z)z)=z^2. Combinando ambos resultados llegamos a que [math](f(x))^2=x^2. Luego las unicas soluciones son [math]f(x)=x o [math]f(x)=-x. [math]\blacksquare
Tomemos [math]y=-(f(x))^2 y nos queda: [math]f(xf(x)+f(-(f(x))^2))=0
Luego existe al menos un numero, llamemoslo [math]x_0, tal que [math]f(x_0)=0. Tomamos [math]x=x_0 y nos queda: [math]f(f(y))=y. Lo llamamos [math](1).
Ahora tomamos en [math](1)[math]y=x_0 y nos queda: [math]f(0)=x_0 de donde [math]x_0 es unico, ya que sino de lo contrario [math]f(0) tendria dos valores o mas y no seria funcion.
Ahora reemplazamos [math]x=0 en nuestra ecuacion original y nos queda: [math]f(f(y))=(f(0))^2+y pero restando [math](1) llegamos a que [math]f(0)=0.
En la ecuacion original tomamos [math]y=0 y nos queda: [math]f(xf(x))=(f(x))^2. Ahora tomamos [math]x=f(z) y nos queda: [math]f(f(z)z)=z^2. Combinando ambos resultados llegamos a que [math](f(x))^2=x^2. Luego las unicas soluciones son [math]f(x)=x o [math]f(x)=-x. [math]\blacksquare
Me parece que tenes que mostrar que las dos soluciones no se mezclan. Una manera de demostrarlo:
Supongamos que existen [math]a y [math]b Distintos de [math]0 tales que [math]f(a)=a y [math]f(b)=-b. Ahora reemplazando con [math]x=a y [math]y=b en la ecuacion original, nos queda [math]f(a^2-b)=a^2+b. El lado izquierda puede ser [math]a^2-b o [math]b-a^2. En el primer caso, [math]b=0 y en el segundo [math]a=0, contradiciendo nuestra suposicion.
Entonces ambas soluciones no se mezclan.
Última edición por tuvie el Dom 27 Abr, 2014 12:13 pm, editado 1 vez en total.
Supongamos que existen [math]a y [math]b tales que [math]f(a)=a y [math]f(b)=-b. Ahora reemplazando con [math]x=a y [math]y=b en la ecuacion original, nos queda [math]f(a^2-b)=a^2+b sea cual sea el valor que tome el lado izquierdo, tendremos que [math]a^2 y [math]b tendran distinta paridad, pero en el lado derecho tienen la misma, absurdo.
Entonces ambas soluciones no se mezclan.
Creo que esa demostración está incompleta porque ahí demostraste eso para valores enteros (cuando hablás de paridad), y en realidad, [math]x e [math]y pueden tomar cualquier valor dentro de los reales.
Última edición por ktc123 el Dom 27 Abr, 2014 11:32 am, editado 1 vez en total.
¨Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas¨. Contacto: [email protected]
La solucion $f(x) = -x$ si verificas, no te queda:
$f(-x^2 + y) = (-x)^2 + y$
Y eso no es igual porque en el lado derecho tengo dos positivos y en el izquierdo tengo uno positivo o uno negativo, según use $f(x) = \pm x$
Seguramente me estoy equivocando pero me pueden decir en donde?
Gracias
Si tenés una pizza con un radio [math]Z y una altura [math]A, su volumen será: [math]PI*Z*Z*A.
