XLVI Torneo Internacional de las Ciudades Octubre 2024 NM P3

[Kechi]

Se sabe que cada paralelepípedo rectángulo tiene la siguiente propiedad: el cuadrado de su volumen es igual a la multiplicación de las áreas de tres caras que comparten un vértice (entre las tres). Determinar si hay algún paralelepípedo con esa misma propiedad pero que no sea rectángulo.

[drynshock]

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Si decimos que $a, b, c$ son las aristas y $\alpha, \beta, \gamma$ los ángulos formados por las aristas, entonces tenemos:

Volumen paralelepipedo:
$abc\sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma)$

Cara 1: $ab\sin(\alpha)$
Cara 2: $bc\sin(\beta)$
Cara 3: $ac\sin(\gamma)$

Hipótesis
$$a²b²c².\sin^2(\alpha)\sin^2(\beta)\sin^2(\gamma)=a²b²c²\sin(\alpha).\sin(\beta).\sin(\gamma) \iff \sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma)=1$$

Ya que esos senos no pueden ser nulos. Y notar que la ecuación que queda no es posible ya que $\sin(x) \in [-1, 1]$ entonces $|\sin(\alpha)|=|\sin(\beta)|=|\sin(\gamma)|=1$ pero eso solo pasa si los ángulos son de $90^{\circ}$ así que de baja los otros casos.